Distribution exponentielle et coïncidences ?

par **mmakster** » 25 Fév 2009, 09:44

Bonjour,

J'ai un problème de probabilités qui apparait dans une manip de physique. Deux détecteurs enregistrent

événements indépendants chacun; la distribution en temps de ces événements suit une loi exponentielle avec une constante de temps

(ie la densité de probabilité est

). Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune coïncidence, càd aucun intervalle de durée

contenant au moins un événement de chaque détecteur ?

Intuitivement, ça devrait dépendre de

, et tendre vers 1 pour x faible et vers 0 pour x grand, mais peut-on être plus précis ?

par **mmakster** » 25 Fév 2009, 14:21

Je crois avoir une piste dans le cas simple où il y a un événement dans chaque détecteur, à

et

respectivement. La proba qu'il n'y ait pas de coïncidence est alors la proba(

OU

), càd

.

En intégrant ceci sur

et

avec la densité de probabilité, on trouve que la probabilité de non-coïncidence est

.

Ca semble plausible, car pour une fenêtre de coïncidence

très grande, la probabilité de non-coïncidence va à

, alors que pour

petit, elle va vers

.

par **mmakster** » 25 Fév 2009, 14:32

Si mon raisonnement précédent est juste, alors dans le cas où un détecteur voit un seul événement et l'autre en voit

, la probabilité de non coïncidence serait la proba de non-coïnc avec le 1er ET de non-coïnc avec le 2ème ET ... non-coïnc avec le nème, soit

.

Alors s'il y a

et

événements dans chaque détecteur, la proba non-coïnc serait

.

Aurais-je oublié un facteur de combinatoire ?