Digits de racine de 2

[mathelot]

Bonjour,

à un moment donné , j'étudiais (sans succès) les digits (base 2) de .

J'avais cherché une courbe d'une fonction strictement croissante continue f
avec f(0)=0,f(1)=1 , telle que



de manière que la contribution des digits égaux à 1 du dévelopement dyadique de ait pour mesure
l'aire sous la courbe de f, et la contribution des digits égaux à 0 ait pour mesure l'aire au dessus de la courbe de f.

En effet , la courbe de f détermine deux domaines du carré [0;1]x[0;1]
d'aires
et
,

Ce qui fait que dynamiquement, la courbe de f semble "choisir" dans sa trajectoire, les digits de

finalement, je suis tombé sur:



L'intégrande se primitive, mais avec une primitive bizarroïde
admettant un prolongement par continuité en .

d'ailleurs , le fameux théorème
n'interdit pas qu'une primitive F soit définie par prolongement par continuité
en x=b.



si on regarde attentivement la limite en de cette primitive,
on voit que la tangente devient infinie avec un coeff selon x, puis revient vers une limite finie ,par composition de arctan, avec un coeff

je me demandais ce que signifiait ce comportement.
J'en ai conjecturé que les digits en base 2 de et étaient asymptotiquement liés.

Que faut-il en penser de cette limite,dans un tel contexte?
et dispose-t-on de statistiques sur les digits, base 2, de
et ceux de qui indiqueraient une corrélation ?

[mathelot]

si on réécrit cela comme composée de fonctions,
en posant
l'homothétie de rapport





la primitive s'écrit comme composée :



c'est-à-dire , un commutateur,du point de vue de la théorie des groupes.

conjecture,sentiment diffus:
La répartition des digits de , entre les valeurs
"0" et "1" serait liée à un "défaut de commutativité" entre deux mystérieux objets, espaces topologiques,groupes de Lie,corps à valuation ?

y-a-t-il un algébriste à qui ça dise qque chose ?

[mathelot]

up..........................

[Doraki]

Je vois pas comment l'écriture de sqrt(2) ou de pi en base 2 a un rapport avec tout ça.

A moins que la fonction que tu as choisi d'intégrer vérifient d'autres propriétés subtiles à part que son intégrale vaut (sqrt(2)-1), je peux quasiment remplacer "base 2" par "base 17" et "sqrt(2)" par "ln(3)" dans ton discours, et redire que la limite de ln(3)*((2/pi)*arctan((1/ln(3))*tan((pi/2)*x))) est ln(3), et penser que l'écriture de pi et de ln(3) en base 17 sont donc intimement liés.

[ThSQ]

Thread assez mystérieux. Je crois qu'on ne sait pas grand chose sur les digits (binaires, décimaux, ...) de sqrt(2) et de pi. Il y a conjectures à la pelle (nombres univers (avec les mensurations de Miss Univers dedans, désolé ), équirépartition, ....) mais rien de prouvé m'semble.

[mathelot]

Bonjour Doraki,
merçi beaucoup pour la réponse.

on peut quasiment remplacer "base 2" par "base 17"

si on regarde avec ln(3), on écrit , par ex,

le DL donne:



que l'on compare au développement en base 9 de ln(3)

où les sont les chiffres de ln(3), base 9.

ça répond donc à la question de la base. Pour ln(3), la base 9
semble plus commode à étudier, pour , la base 2,
et pour la base 16 jusqu'içi.

A moins que la fonction que tu as choisi d'intégrer vérifie d'autres propriétés subtiles

elle ne prend que trois fois une valeur rationnelle sur [0;1]: en x= pour les x de la forme

L'intégrale et la primitive que j'ai évoquée viennent,par bidouille, de la série
et donc elle a un (lointain) rapport avec le développement base 2 de

Maintenant, concernant mon commutateur ?

[mathelot]

re,

concernant la différence ,
ce n'est pas un commutateur (ils sont de la forme ab-ba). Elle a du sens dans une algèbre non commutative, avec une addition et un élément neutre 1.

Y-a-t-il des cas d'algèbre où cette expression est fréquente ?


liens entre pi et rac(2)


concernant la primitive:



elle vient de


avec (d'après les intégrales de Wallis)


où est le polynôme de Bernstein

comme ces dernières intégrales sont des rationnels de ]0;1[, je m'étais dit que ça avait un lien avec le développement base 2 de