Différentielle du produit de matrice

[Mysterion]

Salut,

Je m'intéresse à l'application (produit matriciel) P : FxF -> F, (A,B) -> A.B avec F = {ensemble des matrices carré à valeur réels}.

Plus particulièrement à la différentielle de P en (A,B).

Soit (H,K) FxF.

(A+H)(B+K)=AB+AK+HB+HK.

Ma question : qu'elle norme |.| utiliseriez vous pour prouver que HK=o(|(H,K)|) ?

[mrif]

Salut,

Je m'intéresse à l'application (produit matriciel) P : FxF -> F, (A,B) -> A.B avec F = {ensemble des matrices carré à valeur réels}.

Plus particulièrement à la différentielle de P en (A,B).

Soit (H,K) FxF.

(A+H)(B+K)=AB+AK+HB+HK.

Ma question : qu'elle norme |.| utiliseriez vous pour prouver que HK=o(|(H,K)|) ?

Pour un élément A = (aij) de F on peut prendre ||A|| = sup |aij| et pour un élément (A,B) de FxF on peut prendre ||(A,B)|| = ||A|| + ||B||. Mais pour ta question, tu n'as pas besoin de préciser les normes choisies puisqu'on sait que ||HK|| <= ||H||*||K|| = o(||H||+||K||) = o( ||(H,K||))

Edit:
Si x et y sont 2 nbs strictement positifs, pour voir que xy= o(x+y), on peut écrire xy/(x+y) = y/(1+y/x) qui tend vers 0 quand x et y tendent vers 0

[Mysterion]

Pour un élément A = (aij) de F on peut prendre ||A|| = sup |aij| et pour un élément (A,B) de FxF on peut prendre ||(A,B)|| = ||A|| + ||B||. Mais pour ta question, tu n'as pas besoin de préciser les normes choisies puisqu'on sait que ||HK|| <= ||H||*||K|| = o(||H||+||K||) = o( ||(H,K||))

Edit:
Si x et y sont 2 nbs strictement positifs, pour voir que xy= o(x+y), on peut écrire xy/(x+y) = y/(1+y/x) qui tend vers 0 quand x et y tendent vers 0

Merci beaucoup pour cette réponse détaillée .