Différentielle et matrice

[Ncdk]

Bonjour,

On munit de la norme associée à la norme euclidienne sur .
Soit , et soit l'application définie par la formule

1) Montrer que est de classe sur et calculer pour , .

2) On suppose maintenant que est inversible. Montrer que est une bijection linéaire de sur lui-même.
En déduire qu'il existe tel que l'équation ait une solution dans pour toute matrice telle que

Pour la question 1) :

J'ai déjà commencé par montrer qu'elle était différentiable et que ça différentielle c'était . Ensuite la linéarité est évidente, il faut trouver maintenant la continuité.

J'ai fait un début :

Mais en fait je voulais me servir de ça : "On munit de la norme associée à la norme euclidienne sur "

En gros je sais pas si on est bien en dimension finie, car du coup les normes sont équivalentes et on peut prendre la norme infini, qui nous permet de récupérer le sup, et je sais qu'avec les matrices c'est très pratique.

[MouLou]

Salut. A te lire je ne sais pas trop ce que tu veux prouver:

la continuité ou la continuité de tout simplement?

"J'ai déjà commencé par montrer qu'elle était différentiable et que ça différentielle c'était Ensuite la linéarité est évidente, il faut trouver maintenant la continuité."

Car apparement tu n'as pas encore montré que ton application linéaire est continue et cela semble etre ton but.

Mais : " me dit que tu t'interesses plutot a la continuité de . Bref ce n'est pas clair a mes yeux!

En ce qui concerne ta remarque a la fin, tout est en dimension finie, et Mais la encore je ne sais pas lequel des deux t'interesses: tu veux prendre la norme sup sur les matrices, ou la norme subbordonée a la norme sup?

L'avantage de la norme subbordonée est que c'est une norme d'algebre, et ca te montre en 2secondes que est continue en tant qu'application linéaire

[Ncdk]

Salut. A te lire je ne sais pas trop ce que tu veux prouver:

la continuité ou la continuité de tout simplement?

"J'ai déjà commencé par montrer qu'elle était différentiable et que ça différentielle c'était Ensuite la linéarité est évidente, il faut trouver maintenant la continuité."

Car apparement tu n'as pas encore montré que ton application linéaire est continue et cela semble etre ton but.

Mais : " me dit que tu t'interesses plutot a la continuité de . Bref ce n'est pas clair a mes yeux!

Dans un premier temps, oui j'ai pas précisé c'est ça, c'est pour montrer qu'elle est de classe

C'est moi qui me suis trompé dans l'écriture, on aurait pensé que je parlais de à l'aide de la dérivabilité... :mur:

En ce qui concerne ta remarque a la fin, tout est en dimension finie, et Mais la encore je ne sais pas lequel des deux t'interesses: tu veux prendre la norme sup sur les matrices, ou la norme subbordonée a la norme sup?

L'avantage de la norme subbordonée est que c'est une norme d'algebre, et ca te montre en 2secondes que est continue en tant qu'application linéaire

Oui c'est ce que je voulais savoir.
En fait je voulais savoir si j'ai le droit de dire que

[MouLou]

Non, c'est

Ps: L'application linéaire est évidemment continue car on est en dimension finie... Pas besoin de s'emmerder à le démontrer comme je proposais de le faire...

[Ncdk]

Ah oui donc en fait je m'embête.

J'avais tout simplement à dire que l'application est linéaire, et elle va de dans lui-même, donc c'est de dimension finie, c'est donc continue, donc classe C^1 par la même occasion ?

Pour la norme de il est dit que c'est la norme euclidienne, mais comme on est en dimension finie on peut prendre la norme infini et faire le calcul tout simplement non ? Histoire de manipuler un peu les normes :hein:

[MouLou]

Non pas du tout, ma remarque parlait juste de la continuité de .

n'est malheuresement pas linéaire à cause du terme constant (BH constant en fonction de X), en revanche elle est affine (car constante + linéaire) donc en fait ca marche oui je pense, mais jdis peut etre une betise, faut vérifier que c'est bien affine.

[Ncdk]

D'accord et pour la question 2) j'ai pas de piste, je pensais au théorème d'inversion globale, mais j'ai pas tous les éléments pour l'utiliser.

[MouLou]

Pour l'inversibilité de c'est immédiat car B inversible t'es d'accord?

Pour la suite as-tu entendu parlé du théorème d'inversion locale?

[Ncdk]

Pour l'inversibilité de c'est immédiat car B inversible t'es d'accord?

Pour la suite as-tu entendu parlé du théorème d'inversion locale?

Hum... Pas dans l'immédiat, mais je vois que c'est l'application qui va de

Il faut prouver que c'est une bijection linéaire du coup.

Mais la dimension de l'espace de départ est finit et c'est la même que celle d'arrivé. Je pense que c'est suffisant pour dire que c'est une bijection. Ou peut-être faut-il dire que c'est injectif et dimension de départ = dimension d'arrivé avec dimension finie, c'est plus clair non ?

Donc de ce fait, l'application est linéaire et continue d'ailleurs, bijective et donc est continue ? enfin ça nous sert pas mais on sait déjà que est inversible aussi.

Mais du coup je vois pas ce que vaut :hum:

[MouLou]

"Mais la dimension de l'espace de départ est finit et c'est la même que celle d'arrivé. Je pense que c'est suffisant pour dire que c'est une bijection. Ou peut-être faut-il dire que c'est injectif et dimension de départ = dimension d'arrivé avec dimension finie, c'est plus clair non ?"

Je te laisse te torutrer avec ca, c'est bon pour l'esprit. la 2e est juste , mais si t'as besoin de demander confirmation revoie le ca sert énormément, et comprendre d'ou ca vient c'est la porte d'entrée de beaucoup de choses.

Honnetement je ne vois pas comment résoudre cette question sans ce petit bijou qu'est le théorème d'inversion locale que je te laisse découvrir:

[url]https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d%27inversion_locale[/url]

[Ncdk]

Je le sais car c'est dans le cas des espaces vectoriels de type fini, mais c'est pas tellement ma tasse de thé, j'ai appris ça en temps que corollaire. Mais le comment du pourquoi, je doute que je puisse comprendre car je suis nul, vraiment nul en espace vectoriel, pourtant quelque chose qu'on voit très tôt...

Concernant l'inversion locale, j'y avais pensé, mais pourquoi locale ? On peut pas prendre l'inversion globale ?

Ah oui non après réflexion on est dans le cas précis du point 0 ^^

Je vais regarder ça, j'ai ce théorème dans mon cours mais j'ai jamais utilisé. :D

[Ncdk]

Du coup j'ai regardé le théorème, en appliquant j'ai ça :

On s'intéresse au point 0, et on remarque que .
On en déduit qu'il existe deux ouverts de que l'on note V et W contenant respectivement 0 et (donc 0) tel que et cette application est un -difféomorphisme

Donc est bijective et ainsi que sont de classe

Mais je ne vois absolument la déduction à faire, mais alors vraiment pas, j'ai l'impression que c'est deux univers différents :ptdr:

[MouLou]

'En déduire qu'il existe r>0 tel que l'équation ait une solution dans pour toute matrice telle que "

En gros on te demande de montrer qu'une équation de type a une seule solution,

sachant que est bijective d'un voisinnage de 0 vers un voisinage de 0. Par bonheur on demande de résoudre cette equation sachant que

donc PROCHE de 0, "au voisinage de 0" "U proche de 0" ??

[Ncdk]

En fait je comprends pas ce qu'on veut montrer, en gros si la norme de U est proche de 0, alors la solution à l'équation c'est quasi 0 ?

[MouLou]

En fait je comprends pas ce qu'on veut montrer, en gros si la norme de U est proche de 0, alors la solution à l'équation c'est quasi 0 ?

Non seulement qu'il y a une unique solution!!

[Ncdk]

D'accord ! Mais je vois pas comment justifier, j'arrive pas a assembler ce qu'on sait déjà pour dire y a une unique solution, à mon avis ça vient de la bijection cette unique solution, mais ... :triste:

[MouLou]

Tu sais que est bijective d'un V voisinage de 0 sur un W voisinnage de 0. Ceci signifie toute matrice U de W admet un unique antécédant par au voisinnage de 0.

En particulier, comme W est un voisinage de 0, il contient une boule de centre 0 et de rayon r. Je te laisse finir.

Par contre effectivement tu n'as pas l'unicité.... et ce n'est pas ce qui est demandé...

Tu as unicité des solutions "proches de 0" mais pas forcément ailleurs.
Donc la dessus jai dit n'importe quoi.
Désolé pour cela

[Ncdk]

Tu sais que est bijective d'un V voisinage de 0 sur un W voisinnage de 0. Ceci signifie toute matrice U de W admet un unique antécédant par au voisinnage de 0.

En particulier, comme W est un voisinage de 0, il contient une boule de centre 0 et de rayon r. Je te laisse finir.

Par contre effectivement tu n'as pas l'unicité.... et ce n'est pas ce qui est demandé...

Tu as unicité des solutions "proches de 0" mais pas forcément ailleurs.
Donc la dessus jai dit n'importe quoi.
Désolé pour cela

Alors il faut s'intéresser à ||U||<r, U est dans la boule du coup non ?
et par la bijection, l'unique antécédent c'est donc U. Alors U est dans V ?

[MouLou]

va pas trop vite . arrete toi a chaque étape et pose toi.

On reprend à:il existe r>0 tel que W contient la boule de centre 0 et de rayon r.

Cela signifie que pour toute matrice U, implique .

Donc, comme est bijective de V sur W, on en déduit que U admet un antécédant X par . (Accessoirement il est dans V est c'est l'unique antécédant qui soit dans V, mais ici ça n'est pas important).

Donc il existe une matrice X telle que .

Donc pour toute matrice U telle que , il existe une matrice X telle que
BX-X^2B=U.

Et j'insiste sur mon erreur, la solution n'est pas unique

[Ncdk]

Bonjour,

Merci j'ai compris, mais pourtant, nous avons un unique antécédent X. Donc une unique matrice qui est solution de cette équation.

Pourquoi nous pouvons pas dire qu'elle est unique cette solution ?