Differentielle du determinant

[HanZel]

Bonjour à tous,
Je suis désolé de poser une question sur un sujet qui a été traité x fois mais je bloque sur un point :

f est le determinant.

En utilisant la méthode où on utilise les vecteurs colones M, .

Soit avec H assez petit, on a :
où et tend vers 0 lorsque H tend vers 0.

De manière explicite, où dans chaque membre de la somme, f contient au moins 2 dans ses ""coordonnées"".

Je sais que pour montrer que tend vers 0 lorsque H tend vers 0 il faut utiliser de la majoration et exploiter le fait qu'il y ait au moins 2 dans les f(...).

Pourriez vous m'expliquer comment on procede pour montrer que

Je vous remercie !

[Nightmare]

Salut !

A première vue, je décomposerai H dans la base élémentaire (Eij) et j'irai cherchais les cofacteurs.

Plus concrètement, on a det(M+hEij)=det(M)+hAij avec Aij le cofacteur de (aij) dans M.

[Doraki]

Tu pourrais montrer que f(H1,H2,M3...Mn) <= C * ||H||² * ||M||^(n-2) avec C une constante positive ?

[HanZel]

Je n'y arrive pas Doraki, peux tu m'expliquer comment démarrer?

[Doraki]

Le déterminant c'est bien une application multi-linéaire (linéaire en chaque colonne) ?
Pour les normes utilisées pour les vecteurs ou les matrices on s'en fiche un peu vu qu'elles sont toutes équivalentes.
On à qu'à dire que c'est des Sup de valeurs absolues.

[HanZel]

Est ce que je peux faire une sorte de factorisation:
f(H1,H2,M3,...Mn)<=||H||f(h1,H2,M3,...,Mn)
et ainsi de suite,
f(H1,H2,M3,...Mn)<=||H||²||M||^(n-2) * f(h1,h2,m3,...mn)
avec ||H|| = max(|hij|) hij étant les coefficients de H et pareil pour ||M|| le max(|mij|) et on note c1=f(h1,h2,m3,...mn)

Et on applique ceci à tous le terme de la grosse somme et on factorise le tout par ||H||²||M||^(n-2) qui donnerai à la fin : ||H||²*||M||^(n-2) *C avec C=c1+c2+...+cn


J'espere etre clair ... :/

[Doraki]

c'est quoi h1,h2,m3,...,mn ?
H1,H2,...Mn c'est bien les colonnes dE H et de M hein ?

[HanZel]

Oui H1,H2.... sont bien des colonnes et j'ai factorisé chaque colonne par ||M|| ou ||H||


[edit] Bah non ca va pas aller, mes c1,...,cn dépendent de ||H||... J evais chercher un autre truc

[Doraki]

Ah d'accord.
En fait comme le déterminant est une fonction multi-linéaire continue,
il existe une constante c telle que det(C1,C2...Cn) <= c*||C1||*...*||Cn||.
(comme les boules unités sont compactes en dimension finie, on montre ça en divisant comme t'as fait et en prenant c = le max du déterminant quand les colonnes sont normalisées)

Ensuite on peut bien tout regrouper et bien obtenir que | phi(H) | <= K * ||H||², (vu que M est une matrice constante)

[HanZel]

Oh nooon , la réponse était évidente pourtant ! Je ne pensais pas à cette propriété des applications n-linéaires continues....

Un Grand Merci !!! :id: