Differentielle du determinant

[barbu23]

Salut à tous,
Je bloque sur l'exo suivant :
Soit l'espace vectoriel des matrices carrées $ n \times n $ muni de la base : tel que pour tous : est la matrice dont tous les coefficients sont nuls excepté le coefficient situé à l'intersection de la -ème ligne, et la -ème colonne.
J'ai réussi à montrer que avec : est le cofacteur correspondant à .
En effet :
A partir de l'exemple suivant, on peut comprendre le principe :
Par exemple :

Et ça :

Maintenant, il faut montrer que :
est majorée par lorsque et est une quantité qui ne dépend pas de ?
Vous pouvez m'aider pour ce problème à l'aide d'un exemple simple pour comprendre ?
MErci d'avance. :happy3:

[girdav]

Bonjour,
je crois que c'est et il est étrange de noter une quantité qui ne dépend pas de .

[barbu23]

Bonjour,
je crois que c'est et il est étrange de noter une quantité qui ne dépend pas de .

oui, voilà ! Merci pour la crrection ?Peux tu m'aider pour cette question ?
MErci d'avance :happy3:

[girdav]

Que donnent tes calculs pour ou ?

[barbu23]

JE ne sais pas quel calcul utiliser :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,621661,page=2
:happy3:

[Ben314]

Salut,
Tu développe entièrement ton déterminant det(A+H) puis parmi l'énorme foultitude de terme que tu as, tu regroupe en trois paquets :
1) Ceux qui ne contiennent absolument aucun h_?,? : si tu les regroupe cela te donne det(A) (pourquoi).
2) Ceux qui contiennent exactement UN terme de la forme h_?,? : vu la question précédente, pour un h_i,j donné, la somme des termes contenant ce h_i,j et pas d'autres h_?,? te donne h_i,j.A_i,j (cofacteur) (pourquoi)
3) Ceux qui contiennent au moins deux termes de la forme h_?,? qui sont majorés par ||H||²_oo fois une constante indépendante de H (à condition de ne pas prendre H trop grand...)

[barbu23]

[quote="Ben314"]Salut,
Tu développe entièrement ton déterminant det(A+H) puis parmi l'énorme foultitude de terme que tu as [quote]
Par exemple pour cette matrice :

Je developpe comme ça : ? :hum:

[Ben314]

Oui, c'est bien ça, mais ça serait plus simple "d'imaginer" le résultat (ou de l'écrire sous forme d'une somme avec des indices) plutôt que de chercher à l'écrire complètement...

[barbu23]

[quote="Ben314"]Salut,
Tu développe entièrement ton déterminant det(A+H) puis parmi l'énorme foultitude de terme que tu as [quote]
Par exemple pour cette matrice :

Je developpe comme ça : ? :hum:

[barbu23]

oui, je fais comme ça pour comprendre d'abord le principe :happy3:

[barbu23]

D'accord, alors je trouve comme ça :


MErci d'avance.

[Ben314]

oui, je fais comme ça pour comprendre d'abord le principe :happy3:

Si c'est pour "comprendre le principe" (ce qui est trés bien), je te conseillerais de te contenter d'une matrice 2x2...

Dans ta formule ci dessus, la première égalité est fausse : il te manque (justemet) tout les termes contenant plusieurs h_?,?.

[barbu23]

Dans ta formule ci dessus, la première égalité est fausse : il te manque (justemet) tout les termes contenant plusieurs h_?,?.

De quelle formule tu parles BEn ? :mur:
Regarde cette ecriture :

D'accord, alors je trouve comme ça :


MErci d'avance.

[barbu23]

Ben213 :
Peux tu voir stp, si c'est correct ce que j'ai ecrit ?
Merci d'avance. :happy3:

[Mathusalem]

De quelle formule tu parles BEn ? :mur:
Regarde cette ecriture :

C'est justement dans cette formule là que l'égalité ( la première ) est fausse.

[barbu23]

C'est justement dans cette formule là que l'égalité ( la première ) est fausse.

oui, mais je vois pas où il y'a erreur :doh: :mur:
Merci dee votre aide. :happy3:

[barbu23]

Ben215 : Es tu là ? :happy3:

[barbu23]

svp, aidez moi, je ne vois pas où est l'erreur :hum:

[girdav]

Pour trouver la différentielle on traite de façon à extraire un terme linéaire par rapport à puis on montre que ce qui reste divisé par la norme de tend vers lorsque tend vers . C'est ce que te permet l'inégalité que tu dois montrer.

[barbu23]

C'est ce que j'ai fait girdav :
j'ai trouvé que : ( je ne vois pas encore d'erreur de calcul dessus )

le terme linéaire en c'est donc , non ?