Differentielle du determinant

[barbu23]

Bonsoir à tous,
Je bloque sur l'exo suivant :
Soit l'espace vectoriel des matrices carrées muni de la base : tel que pour tous : : est la matrice dont tous les coefficients sont nuls excepté le coefficient situé à l'intersection de la - ième ligne, et la - ième colonne.
Montrer que avec : est le cofacteur correspondant à .
Merci de votre aide.

[mathelot]

Bonjour,

avec la définition, on doit pouvoir s'en sortir



ça veut dire quoi ce machin là ?

la matrice A comporte n vecteurs colonnes indicés par le 2ème indice j

pour chaque vecteur colonne j, on "choppe", on considère une composante
sur sa i-ème ligne , de manière que le choix des n lignes
sur tous les vecteurs colonnes soit injectif.

ça fait un produit dont le plus simple est


maintenant, on sature la somme en considérant tous les produits de cette
forme , et toutes les choix injectifs possible d'une coordonnée
sur chaque vecteur colonne

comme on s'intéresse à l'indépendance des vecteurs colonnes
et aussi comment l'application f de matrice A multiplie les volumes,
on "sature" la somme de manière alternée, ie, avec un coefficient
de signature devant chaque produit

après au lieu d'ajouter (Kronecker)
comme on "choppe" la coordonnée i, on ajoute

à

dans chaque produit (il y en a en tout n!)
il y a un facteur qui va être une fonction affine de la variable t
que l'on développe par distributivité de la multiplication sur l'addition (des réels)

au final, il y a une constant que l'on retrouve égale à det(A),
par exemple évaluée en t=0 et il y a n! petites fonctions linéaires
dont le coefficient mutiplicatif doit être pile-poil le cofacteur

[girdav]

Bonjour,
tu peux écrire le -ième vecteur colonne de la matrice comme étant la somme du -ième vecteur colonne de avec fois le -ième vecteur de la base canonique. La linéarité du déterminant par rapport à une colonne permet de conclure.