Diagonalisation

[Arnaud-29-31]

Ton système équivaut à X'=A.X ...

[capitaine nuggets]

Ton système équivaut à X'=A.X ...

Je suis d'accord mais qu'en faire ?
Quand on diagonalise A, on obtient D, mais comment appelle donc D ?

[Arnaud-29-31]

On vient dans tout l'exercice de montrer qu'en changeant de base, on obtient une matrice D bien plus confortable que A.

On va donc changer de base via la matrice de passage P.

Je pose

On a qui s'écrit aussi et donne ainsi , il n'y a plus qu'a changer de base en posant

[capitaine nuggets]

On vient dans tout l'exercice de montrer qu'en changeant de base, on obtient une matrice D bien plus confortable que A.

On va donc changer de base via la matrice de passage P.

Je pose

On a qui s'écrit aussi et donne ainsi , il n'y a plus qu'a changer de base en posant

:hum: je ne comprends pas pourquoi tu fais ça.

[Arnaud-29-31]

Parce que ca nous amène à un système diagonal () ... ca se résout donc de suite.
On aurait suivi exactement la même démarche s'il n 'y avait eu que cette dernière question : on a un système un peu tordu, on le diagonalise pour le simplifier.

[capitaine nuggets]

Mais dans cet exercice, on dit clairement que A est diagonalisable.
Mais si on avait, comme tu dis, que la seconde question, aurais-t-il fallu montrer que A est bien diagonalisable ? Si oui, que suffit-il de faire ?

[Arnaud-29-31]

Si ce n'est pas dit on part quand même dans la même étude : valeurs propres, vecteurs propres.
Si ce n'est pas diagonalisable, on arrivera tout de même à trigonaliser et rendre le système plus simple.

[capitaine nuggets]

Parce que ca nous amène à un système diagonal () ... ca se résout donc de suite.

Ok, je comprends ton raisonnement mais, comment trouver proprement les solutions (j'arrête pas de faire des changements de variables).

[Arnaud-29-31]

Je ne vois pas ce que tu entends par changement de variable ... là on a juste changé de base et on s'est ramené à un système diagonale, la résolution est donc immédiate et il n 'y a plus qu'à ensuite revenir à la base de départ.

[capitaine nuggets]

Ben, ce que je veux dire c'est qu'après je pose mais ca fait bcp de changement de variables...

[Arnaud-29-31]

Bein non ca ne fait qu'un changement ... on est passé de Y à X en utilisant

On a et

[capitaine nuggets]

Tu peux me montrer, à titre d'exemple bienspur, comment tu résoudrais un tel système, parce que je me perds dedans ...

[Arnaud-29-31]

La je peux rien dire de plus sans donner la réponse ... Je ne vois pas ce qui peux te bloquer arrivé ici.

Si je reprend on a un système on sait que est semblable à une matrice diagonale :

Notre système peut s'écrire qui donne en multipliant par : .

Si on note le vecteur dans la nouvelle base on finalement soit
(puisque l'on a noté , et les composantes de ).

Ce système se résout de tête et on a .

Il ne reste plus qu'a exprimer en utilisant le fait que

[capitaine nuggets]

La je peux rien dire de plus sans donner la réponse ... Je ne vois pas ce qui peux te bloquer arrivé ici.

Si je reprend on a un système on sait que est semblable à une matrice diagonale :

Notre système peut s'écrire qui donne en multipliant par : .

Si on note le vecteur dans la nouvelle base on finalement soit
(puisque l'on a noté , et les composantes de ).

Ce système se résout de tête et on a .



Il ne reste plus qu'a exprimer en utilisant le fait que

Ah d'accord ! C'est juste ça, je commençais à faire des montagnes de calculs.

Merci beaucoup pour ton aide :++:

[Arnaud-29-31]

De rien. J'espère que c'est assez clair.
Ce genre d'exo est assez classique, tu auras l'occasion d'en faire quelques un et la pratique aide beaucoup.