Diagonalisation

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 13:43

Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur la première question d'un exercie :

On donne

.
On me demande de diagonaliser

.

Je ne sais pas quelles sont les étapes à suivre pour y parvenir.

Déjà, si on me demande de diagonaliser A, c'est qu'elle l'est mais dois-je le prouver en calculant sont déterminant ?

Merci d'avance.

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 14:11

Bonjour,

Si ca ne te dit rien c'est que tu n'as pas du voir le chapitre en question.
Pour diagonaliser une matrice, on doit trouver une nouvelle base dans laquelle notre matrice sera diagonale.
Il nous faut donc trouver les valeurs propres

et vecteurs propres

tels

(On voit qu'on final cela permet de proposer une matrice avec des zéro partout et les

sur la diagonale)

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 14:15

Arnaud-29-31 a écrit:Bonjour,

Si ca ne te dit rien c'est que tu n'as pas du voir le chapitre en question.
Pour diagonaliser une matrice, on doit trouver une nouvelle base dans laquelle notre matrice sera diagonale.
Il nous faut donc trouver les valeurs propres et vecteurs propres tels
(On voit qu'on final cela permet de proposer une matrice avec des zéro partout et les sur la diagonale)

Si je l'ai vu en cours, mais on n'a pas encore fait d'exercices.
J'ai déjà trouver les valeurs propres : 1 et 3 avec 1 racine de multiplicité 2 du polynôme caractéristique.
Je cherche donc après les espaces-propres mais j'ai peur de m'être trompé dans les calculs...

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 14:19

capitaine nuggets a écrit:Si je l'ai vu en cours, mais on n'a pas encore fait d'exercices.
J'ai déjà trouver les valeurs propres : 1 et 3 avec 1 racine de multiplicité 2 du polynôme caractéristique.
Je cherche donc après les espaces-propres mais j'ai peur de m'être trompé dans les calculs...

Après je ne sais pas quoi faire après avoir trouvé une base des deux espaces propres...

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 14:20

On a bien 1 vp double et 3 vp simple. Tu as quoi ensuite comme vecteurs propres ?

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 14:24

Arnaud-29-31 a écrit:On a bien 1 vp double et 3 vp simple. Tu as quoi ensuite comme vecteurs propres ?

Les vecteurs propres, ce sont les vecteurs qui forme les bases des espaces propres de 1 et 3 ?

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 14:29

Oui c'est ça.

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 14:33

Arnaud-29-31 a écrit:Oui c'est ça.

Pour 1 j'ai (1,0,1) et (0,1,0) et pour 3 j'ai (1,-1,2)

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 14:37

Oui, c'est bien ça.
Si on note

la base canonique, on a exhibé une nouvelle base

telle que

,

et

.

,

et

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 14:38

Arnaud-29-31 a écrit:Oui, c'est bien ça.
Si on note la base canonique, on a exhibé une nouvelle base telle que , et . , et

D'accord.
Mais après, je ne sais pas ce qu'il faut faire ...

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 14:40

Bein la l'exo est fini, la matrice de f dans la nouvelle base

est

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 14:44

Arnaud-29-31 a écrit:Bein la l'exo est fini, la matrice de f dans la nouvelle base est

On le dit direct comme ça ?
Il faut pas refaire les calculs :

?

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 14:59

Faire ce calcul ne servira qu'a vérifier.
On a

Tu peux t'amuser à vérifier que

mais il n'est pas utile de le faire : tout ce qu'on a fait c'est chercher A' et P tels que cette relation soit vérifiée.

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 15:17

Si on prends plutôt la base (1,0,1),(1,-1,2) et (0,1,0) alors la matrice de f dans cette base serait-elle :

?

Arnaud-29-31 a écrit:Faire ce calcul ne servira qu'a vérifier.
On a

Tu peux t'amuser à vérifier que mais il n'est pas utile de le faire : tout ce qu'on a fait c'est chercher A' et P tels que cette relation soit vérifiée.

Ok, et du coup (je rajoute un petite question), comment trouver

.

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 15:24

Pour bien résumer, on note notre matrice de départ

Notre changement de base donne une matrice passage

.
Notre matrice diagonale est

La relation liant ces matrices est

.
Que vaut

?

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 15:48

Arnaud-29-31 a écrit:(...)
Notre changement de base donne une matrice passage .
Notre matrice diagonale est

La relation liant ces matrices est .
Que vaut ?

Tu mets les vecteurs dans cet ordre mais peut-on les mettre dasn un autre ordre (par exemple inverser deux lignes, ou deux colonnes etc...).
Je ne comprends pas bien comment tu disposes les vecteurs dans P en fait.
Tu les as mis suivant un règle précise ou au hasard ?

Ah ok :

donc

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 15:57

Tu peux changer les colonne mais chaque vecteurs (une colonne correspond à un vecteur) est associé à une valeur propre. Comme tu l'as dis, si on inverse la 2eme et dernière colonne on change la position des 3 et des 1 dans la matrice D.

On a bien

, et

se calcul aisément puisqu'elle est diagonale.

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 16:09

Et lorsqu'on a les vecteurs propres comment doit-on les placer pour former la matrice de passage P de (base ?) dans (base ?) ? En colonne ? En ligne ?

par **Arnaud-29-31** » 21 Oct 2012, 16:16

En colonne ... chaque ligne représentant les composante suivant un vecteur (comme toute les matrices)

par **capitaine nuggets** » 21 Oct 2012, 16:57

Arnaud-29-31 a écrit:En colonne ... chaque ligne représentant les composante suivant un vecteur (comme toute les matrices)

ok.
donc dans l'ordre :
première colonne --> 1re valeur propre
deuxième colonne --> 2e valeur propre
etc...

Ensuite, on me demande d'en déduire l'expression de trois fonctions x,y,z telles que :

Mais là je ne vois vraiment pas comment relier cette déduction à la précédente question

Diagonalisation

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