Développement limité

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Obito31
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développement limité

par Obito31 » 14 Juin 2019, 19:31

bonjour,

voila je bloque sur un exo

soit f la fonction suivante : f(x,y) = ln( 1 + x*exp(y) ) - y²x si x > 0
ln( 1 + x*exp(y) ) sinon

question : quelle est le dl a l'ordre 2 en ( 0 , 0 ) ? on traira avec soin la questions des petit o

on a que ln ( 1 + x*exp(y) ) -y²x = x*exp(y) - x²exp(2y)/2 + o( x²exp(2y) ) - y²x

maintenant le dl de exp nous donne : x( 1+y+o(y) ) - x²(1 + 2y +o(y) )/2 - y²x + o( x²exp(2y) ) = x + xy - x²/2 - x²y - x²*o(y)/2 - y²x + o( x²exp(2y) ) + x*o(y)

maintenant je doit montré que -x²y - x²*o(y)/2 - y²x + o( x²exp(2y) ) + x*o(y) = o( x²+y²) et c'est la où je bloque



aviateur
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Re: développement limité

par aviateur » 14 Juin 2019, 19:58

Bonjour
Une façon simple pour montrer que chaque terme c'est d'utiliser la norme 2.
(en passant en coordonnées polaires)

Par exemple
d'où
Et par ailleurs chaque monôme de degré 3 est un o(x^2+y^2)

autre exemple .
En effet tend vers 0 quand (x,y) tend vers 0.

Donc ensuite passer à la valeur absolue et majoration par fois une fonction qui tend vers 0.

Si j'ai bien compris on te demande de revenir aux définitions pour bien justifier (comprendre) que dans chaque cas que tu as bien un

LB2
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Messages: 772
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Re: développement limité

par LB2 » 15 Juin 2019, 00:54

Bonjour,

à ce sujet, je me demandais si, au delà de la formule de Taylor Young à 2 variables, il existait une théorie un peu rigoureuse des développements limités à deux variables... aviateur, tu connais ?

 

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