Détermination de Im(f) d'une application linéaire

[syllabb]

Bonjour, j'ai du mal à aboutir dans la déterminations de l'image de mon application linéaire.

Voici le sujet : f(x,y,z,t)=((x-y+t),(-y-2z+t),(x+2y+z+t)), avec les ei les vecteurs de la base canonique de R4, et f(e1)=(1,0,1) , f(e2)=(-1,-1,2), f(e3)=(0,-2,1) et f(e4)=(1,1,1)

Pour information, j'ai déjà déterminé Ker(f) et j'en ai trouvé un base.

Mais voila pour Im(f), je considère la matrice de l'application f, soit :







Et ensuite j'ai dit que (a,b,c) appartenant à Im(f) il existe (x,y,z,t) tel que f(x,y,z,t)=(a,b,c)

Je considère maintenant la matrice augmentée suivante :




(les "!" signifiant la séparation entre la matrice des coefficients et celle du 2nd membre)


Ensuite j'essaye de l'échelonner avec Gauss-Jordan, et je trouve:




Mon problème : je crois savoir que pour donner Im(f), il faut qu'on ait une ligne de la matrice avec des 0 à gauche de la barre de séparation et ce qui reste du coté de la partie droite donne l'équation cartésienne de Im(f). Et du coup je ne sais pas comment conclure : l'image n'existe-t-elle pas ? Où y a-t-il une méthode ?

Merci d'avance :we:

[Robic]

Bonjour ! Je pense qu'il faut que tu gardes bien en tête ce qu'on est en train de faire : trouver une condition sur a, b, c pour qu'il existe un antécédent.

Au fait : j'ai refait les calculs, je crois que le (c-a+3b) en bas à droite doit être divisé par -5 et non pas par 5.

Prenons a, b, c quelconques. Ton calcul prouve qu'on peut toujours trouver un antécédent : en effet, il suffit de poser t = ce qu'on veut, puis z = (3t -c + a -3b ) / 5, puis y = -2z + t - b et enfin x = y - t + a (sauf erreur de ma part). Puisqu'on peut toujours trouver un antécédent, et ce quel que soit (a, b, c) dans , c'est que l'image est exactement .

Une autre façon de calculer l'image, c'est de se souvenir que f(e1), f(e2), f(e3), f(e4) forment une famille génératrice de l'image. Ici on a quatre vecteurs, il y en a donc au moins un qui est combinaison linéaire des autres. Je viens de faire les calculs (c'est plus long), et j'ai pu démontrer que f(e4) est combinaison linéaire des trois autres, puis que les trois autres forment une famille libre. Donc ils forment une base, ce qui prouve que Im f est de dimension 3 donc que c'est .

Bref, ce qui est important c'est de savoir ce que tu fais (ici : chercher les (a, b, c) qui ont un antécédent), et non pas appliquer une recette toute faite. Si tu sais ce que tu fais, tu n'as pas besoin de te demander si on doit obtenir des 0 à gauche de la barre de séparation ou je ne sais quoi (pour ma part je n'en sais rien et peu m'importe).

[zygomatique]

salut

c'est bien une méthode de bourrin mécanique ...

Im(f) est trivialement et par définition engendré par (1, 0, 1), (-1, -1, 2), (0, -2, 1) et (1, 1, 1)

il suffit alors de connaître et/ou déterminer leur indépendance ...

en particulier lorsqu'on connaît le théorème du rang on ne se dispenserait pas de donner le noyau de f ....

sinon en notant (i, j, k) la base canonique de R^3 et c1, c2, .. , c4 les colonne de ta matrice il est aisé de voir que :

c4 - c1 = j
c4 + c2 = 3k
c1 - (1/3)(c4 + c2) = i

donc l'image est vec(i, j, k) = R^3

...

une remarque : 4 vecteurs de R^3 sont évidemment liés ....