Determination d'un spectre

[Anonyme]

Bonjour,
soit a,b,c,d dans R^4, on demande de déterminer Sp(A) sur C avec A=

a -b -c -d
b a d -c
c -d a b
d c -b a

Alors:
A-L*Id4 a la même forme que A donc on pour trouver le polynome caract de
A-L*Id4 on calcule det(A) puis on remplace a par a-L.

Vu la tête de la matrice, on ne va pas calculer dirrectement le det comme un
bourrin, on voit que

B=1/sqrt(a²+b²+c²+d²)*A est une matrice orthogonale, donc det(B)=e= {-1,1}

d'autre part B etant orthogonale est inversible donc B^-1=tCom(B)/det(B) , soit
B=Com(B)/det(B)
on a alors det(B)=sgn(a)*sgn(det(B)) puisque det(Com(B))=a(a²+b²+c²+d²)

On a aussi det(B)= 1/(a²+b²+c²+d²)² *det(A)=sgn(a)*e

puis apres je ne vois pas comment m'en sortir de là. cad trouver e, puis det(A)

Merci pour votre aide.

[Anonyme]

> Vu la tête de la matrice, on ne va pas calculer dirrectement le det comme
un
> bourrin, on voit que

A priori si tu calcules le poly car comme un boeuf ça te donne un (polynôme
de degré 2)^2 ... bon, l'intérêt de cette méthode est maigre... ahah