Determination d'un gradient et d'un potentiel...

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dvteam70
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determination d'un gradient et d'un potentiel...

par dvteam70 » 29 Déc 2011, 17:09

Bonjour à tous, voici l'exercice de maths qui me pose problème.

*je vais exprimer le vecteur V par un V en gras car je ne sait pas comment on insere la flèche*

Soit le champ vectoriel V
Ses composantes sont :

sur x : yz +x^2*y^3
sur y : zx +y^2*x^3
sur z : f(x,y)

1) Déterminer f pour que V soit un gradient.
2) Exprimer alors le potentiel FI dont il dérive.

Voila ce que j'ai fait :

Pour que V soit un gradient, dans mon cours c'est marqué qu'il faut la dérivée partielle de x par rapport à f, la dérivée partielle de y par rapport à f et la dérivée partielle de z par rapport à f.

Je suis donc partie du fait que l'expression de V que l'on me donne dans l'énoncé est déjà le gradient. J'ai donc fait la primitive de yz + x^2*y^3 par rapport à x et de zx +y^2x^3 par rapport à y. Je n'ai pas fait la primitive de la composante en z par rapport à z car je n'avais pas justement f.

Ensuite j'ai trouvé que la primitive des composantes de x et y donne le même résultat qui est yzx + ((y^3 *x^3)/3) et donc egale à f(x,y).

J'ai vérifié si mon resultat était bon en le derivant par rapport à x puis à y pour vérifier que je retombais bien sur mes pattes.

J'ai aussi remplacé la composante en z par le resultat que j'ai trouvé pour f.

Une fois que j'ai eu tout sa je me suis attaqué à la seconde question.

Et c'est la que je me perds :/.

J'ai chercher de quel potentiel V dérive, et c'est la que je me suis servi de la seule phrase de mon cours qui parle de sa :

"Si un champ vectoriel V est de rotationnel nul, alors il existe un champ scalaire dont V est le gradient. On dit que V dérive du potentiel ."

J'ai donc essayé de chercher le rotationnel de V. Et je trouve une composante en z nul mais pas en x ni y, donc le rotationnel du champ vecrtoriel V n'est pas nul... donc je suis perdu :/.

Voila je ne sais pas si mon raisonnement est correct, je planche sur mon dm depuis un petit moment et je n'arrive pas à avancer dessus.

Merci.



Doraki
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par Doraki » 30 Déc 2011, 12:17

Je pense que ta réponse à la question 1 (qui n'est pas celle attendue) donne la réponse à la question 2.

Ne donne pas le même nom à deux trucs différents.
f c'est déjà la 3ème composante du champ de vecteur V.
Apparemment la question 2 appelle le potentiel dont il dérive ;).
Donc tu cherches un champ ;) tel que d;)/dx = yz +x^2*y^3 ; d;)/dy = zx +y^2*x^3 ; d;)/dz = f(x,y).

Tu as complètement zappé les constantes d'intégration :
Ton raisonnement sur d;)/dx = yz +x^2*y^3 dit que
pour tout y et z, il existe une constante K1(y,z) telle que pour tout x, ;)(x,y,z) = xyz + ((y^3 *x^3)/3 + K1(y,z).

De même, ton raisonnement sur d;)/dy = zx +y^2*x^3 dit que
pour tout x et z, il existe une constante K2(x,z) telle que pour tout y, ;)(x,y,z) = xyz + ((y^3 *x^3)/3 + K2(x,z).

Donc comme ;)(x,y,z) - xyz - ((y^3 *x^3)/3 = K1(y,z) = K2(x,z), cette expression dépend seulement de z : ;)(x,y,z) = xyz + ((y^3 *x^3)/3 + K(z).

Maintenant, tu dois avoir d;)/dz (x,y,z) = f(x,y), ce qui apporte des conditions sur K(z) et f(x,y).


La méthode attendue au 1 c'est que en fait la réciproque de ta phrase "Si un champ vectoriel V est de rotationnel nul, alors il existe un champ scalaire dont V est le gradient. On dit que V dérive du potentiel ." est vraie (et super simple à montrer, tu l'as probablement fait avant dans ton chapitre) : la phrase veut en fait dire : V dérive d'un potentiel le rotationnel de V est nul.

Donc en 1 tu regardes à quelle condition sur f est-ce que le rotationnel est nul, puis pour la 2 tu fais à peu près ce que tu viens de faire pour déterminer ;).

dvteam70
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par dvteam70 » 30 Déc 2011, 19:46

Merci pour ta réponse, j'ai tout compris pour mon oublie de constante mais la réponse à la question 1 est donc f(x,y,z) = xyz + ((y^3 *x^3)/3 + K(z)?
Car si je fait le gradient de sa je retombe bien sur V.
Je ne comprend pas :/.

Je n'arive pas à suivre le reste de ton raisonnement. Il faut que je regarde comment doit etre f pour que le rotationnel soit nul? Mais je ne voit pas comment parvenir à sa du tout ...

:/

Doraki
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par Doraki » 31 Déc 2011, 01:00

Non, la réponse à la question 1 c'est "la fonction f(x,y) doit vérifier ..... ".
J'ai pas fini le raisonnement.
Quand tu prends le gradient de ce que t'as dit j'vois pas comment tu obtiens V.

Pour la méthode attendue, je vois pas ce qui te gêne. Il faut regarder ce que veut dire "le rotationnel de V est nul" et ce que ça dit à propos de f. Tu parles de parvenir à quoi ?

dvteam70
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par dvteam70 » 31 Déc 2011, 12:55

aaaahhhh c'est bon je comprends mon erreur ^^

Mais enfaite :"Exprimer alors le potentiel FI dont il dérive"
c'est dire : "quelle est son integrale"

Si j'ai bien compris le mot potentiel veut dire fonction et FI est une fonction.

Et donc cette fonction est bien la réponse à la question 2, c'est le potentiel FI dont V dérive.

;)(x,y,z) = xyz + ((y^3 *x^3)/3 + K(z).

Je me trompe ?

dvteam70
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par dvteam70 » 02 Jan 2012, 23:26

Donc pour la 1)

f(x,y) doit vérifier que rot(gradf)=0

En gras c'est pour la fleche des vecteurs.

Et en deux :

;)(x,y,z) = xyz + ((y^3 *x^3)/3 + K(z).

Doraki
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par Doraki » 03 Jan 2012, 15:52

dvteam70 a écrit:Mais enfaite :"Exprimer alors le potentiel FI dont il dérive"
c'est dire : "quelle est son integrale"

Non ça veut dire "exprimez une fonction ;) telle que grad ;) = V"

;)(x,y,z) = xyz + ((y^3 *x^3)/3 + K(z).

Tu n'as pas dit ce que K pouvait être. Si tu prends K quelconque, c'est faux.

dvteam70 a écrit:Donc pour la 1)
f(x,y) doit vérifier que rot(gradf)=0

Non, le gradient de f n'a rien à voir avec le problème.
Et puis le rotationnel d'une fontion de R^2 dans R^2, ça n'existe pas.
Et puis si tu as une fonction de R^3 dans R deux fois dérivable, le rotationnel de son gradient est toujours nul.

dvteam70
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par dvteam70 » 03 Jan 2012, 21:54

Alors la je vois vraiment pas quoi répondre :/

 

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