Déterminant de Vandermonde

par **Max26** » 24 Déc 2009, 13:37

Bonjour à tous,

Alors voilà je fais appel à vos connaissances qui m'avaient fortement aidé l'année dernière en BTS pour un exercice.

Maintenant je suis en cycle supérieur, ça change du BTS ....

L'exercice concerne le déterminant de Vandermonde. Avant toute chose, je précise que nous avons pas fait le cour en classe (eh oui ... les vacances servent à chercher surtout celles de noël). De plus j'ai fait beaucoup de recherche sur le net à propos de cela, et à vrai dire je ne comprends rien à ce qui est écrit.

Voici l'énoncé:

Merci d'avance

par **Ericovitchi** » 24 Déc 2009, 14:09

Pour D3, développes le déterminant d'après la 3ième colonne.
Tu trouves a²(c-b)+b²(a-c)+c²(b-a)
(J'ai remplacé a1 par a, a2 par b et a3 par c)

Remarques que ce polynôme en a du second degré a pour racine b et c (on le voit sur le déterminant initial) et qu'il s'écrit donc k(a-b)(a-c). On trouve facilement la constante et donc
D3=(a-b)(b-c)(c-a)

Tu fais la généralisation de la même façon en remarquant que le polynôme obtenu a pour racine a,b,c,d, ....

par **Max26** » 24 Déc 2009, 14:58

Merci de ta réponse,

J'ai compris ton premier paragraphe, cependant je comprends pas tes déductions sur les racines et sur la constante :s

par **Ericovitchi** » 24 Déc 2009, 16:06

a²(c-b)+b²(a-c)+c²(b-a) est un polynôme en a du second degré.

Mais on sait en regardant le déterminant d'origine qu'il s'annule pour a = b et a= c car dans le déterminant d'origine si on fait a=b ou c ça fait 2 lignes pareilles et un déterminant qui a 2 vecteurs identiques est nul.

S'il s'annule pour a=b et a=c alors on doit pouvoir mettre (a-b) et (a-c) en facteur et il s'écrit donc
k(a-b)(a-c) reste à trouver k. K est le coef de a² donc k=(c-b) et on vient simplement de prouver sans aucun calcul que
a²(c-b)+b²(a-c)+c²(b-a) = (c-b)(a-b)(a-c)

par **Max26** » 24 Déc 2009, 16:17

Ok je comprends mieux, c'est des notions que je n'avais pas et je pensais que les vecteurs d'une matrice c'était les colonnes et non les lignes ... :s

Merci

par **Ericovitchi** » 25 Déc 2009, 15:34

oui c'est les colonnes. Mais ce qui est vrai pour des colonnes est aussi vrai pour des lignes. C'est la notion d'espace dual. Ou plus simplement il suffit de transposer la matrice.

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