Des polynomes

[celian]

Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : On considère le polynome P(x) = x^6 - 3x^2 + 2 .

a) Montrer que 1 et -1 sont racines de P et préciser leur ordre de multiplicité .

P(-1) = (-1)^6 - 3(-1)^2 + 2 = 0
P(1) = (1)^6 - 3(-)^2 + 2 = 0

donc -1 et 1 sont bien les racines .

P(1) = 0
P'(1) = 0
P''(1) = 24 , l'ordre de multiplicité de 1 est 2

P(-1) = 0
P'(-1) = 0
P''(-1) = 24 , l'ordre de multiplicité de -1 est 2 .

b)Décomposer P en facteurs irréductibles dans R[x] et dans C[x] .

On sait que P(x) peut s'écrire sous la forme (x-1)(x+1)*Q(x)

Là je raisonne dans R[x] , Q(x) est de degré 4 ( quelqu'un connait le théorème pour ça?) , et par identification je trouve :

P(x) = (x-1)(x+1)(x^4 + x² - 2)

x^4 + x² - 2 a pour racine 1 et -1 , donc la décomposition totale en facteur irréductibles c'est :
P(x) = (x-1)(x+1)(x-1)(x+1)

Pour C[x] , c'est la meme chose je pense , etes vous d'accord ?

merci

[celian]

pour une fois que je boucle un exercice d'un coup , quelqu'un peut me dire si mes résultats sont corrects s'il vous plait ?

merci bien .

[celian]

j'ai trouvé mon erreur hé hé hé !!!

dans r[x] on a finalement :

(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)(x²+2) , j'avais oublié une identification :-) .

par contre dans c[x] , je sais que iV2 est une racine de x^4 + x² - 2 , donc j'ai :

(x-1)(x+1)(x-iV2)(x-1)(x+1) mais il me manque un facteur , qui peut me donner un coup de pouce svp ?

[celian]

j'ai finalement trouvé !!! j'ai ai passé du temps mais le travail ça paye , alors voici ma décomposition en facteurs irréductibles dans c[x] :

(x+1)(x-1)(x-iV2)(x+iV2)(x+1)(x-1) , c'est facile pour vous je sais mais pour moi c'est un début :happy2:

[busard_des_roseaux]

bjr,

autre méthode possible:

poser

Effectuer la division euclidienne du polynôme de degré 3 (indéterminée Y)
par .

Cordialement,

[celian]

oui busard merci pour ta précision c'est exact et rapide .