DERIVEE D'UNE FONCTION PUISSANCE

[SABATHE]

Quelqu'un pourrait-il me dire si mon évaluation de la dérivée de cette fonction est correcte:

"""""""""""""""""""""""""""""""
L’expression de la fonction de réfutation est FR = (1 - 2/log (n))^ n/log(n);
il s’agit de logarithmes népériens.
Nous allons dériver d’abord par rapport à log n puis par rapport à n (dérivée de fonction de fonction).

La dérivée d’une fonction “puissance” u^v s’obtient en la transformant d’abord en son logarithme puis en la dérivant, la variable à considérer ici étant log (n), n = e^log(n);
pour soulager l’expression on notera log n l’expression log(n):

Posons y = u^v avec u = 1 - 2/log n) et v = n/log n = (e^log n)/log n);
log (y) = v.log (u); donc
(log (y))’ = (v.log (u))’, donc y’/y = v.u’/u + v’.log (u) avec
u’ = 2/log n^2;
v’ = [log n.e^log n - e^log n]/log n^2 = n (log n - 1)/ log n^2

y’/y = v.u’/u + v’.log (u) =
n/log n . 2/log n^2/(1 - 2/log n) + log(1 - 2/log n).n.(log n - 1)/log n^2;

donnons une approximation affine de 1/(1- 2/log n) selon
1/(1- x) = 1 +x + x^2+..
et de log( 1 - 2/log n) selon log (1-x) = -x - x^2/2 +...:

y’/y = A + B, avec
A = (2.n/(log n)^3). [1 + 2/log n + (2/log n)^2+..] et
B = (n/log n^2).(log n -1). [- 2/log n) - ((2/log n)^2)/2 +..] =
= (2.n/log n^3).(log n -1).( -1 - 1/log n+..)
= (2.n/log n^3).(- log n + 1/log n) d’où

y’/y = (2.n/log n^3).[1 + 2/log n + 2/log n^2 - log n +1/log n =
(2.n/log n^3).[- log n + 1 + 3/log n +2/log n^2];

la quantité entre crochets est négative à partir de n = 100;
pour n = 100 par exemple elle est - 3,09; pour n = 1000 elle est - 5,74.
Si pour n grand on néglige les termes du crochet autres que log n,
y’/y se rapproche de - 2.n/(log n)^2;
si l’on dérive maintenant par rapport à n, la dérivée de log n étant 1/n, on obtient
y’/y = - 2/(log n) ^2;
la dérivée de la fonction de réfutation est négative et la fonction de réfutation décroissante.

""""""""""""""""""""""""""""""""
Avec mes remerciements

[pascal16]

il y a un problème au départ sur l'écriture

dans ton premier calcul, on comprend que FR=(1 - 2/log (n))^ [n/log(n)]
n/log(n) n'étant pas un entier, la fonction n'est définie que pour (1 - 2/log (n)) positif
donc ça n'a pas de sens pour n=100 ou 1000

FR=[(1 - 2/log (n))^ n] / log(n)
aurait un sens

si n est un entier, une étude graphique suffit

[SABATHE]

Bonjour

je n'ai pas bien compris;
pour n=100, je trouve FR = 0,000004
pour n=1000, je trouve FR =2,80.10^(-22)
(ce qui n'est d'ailleurs pas en contradiction avec le fait que
FR soit décroissante)

Cordialement