Derivée fonction implicite

[ptitsuisse]

Bonjour à tous !

On vient de se lancer dans les dérivées des fonctions implicites dans mon école, et je suis tombé sur un problème où je bloque totalement. Je ne sais pas comment démarrer.

Voici la donnée : On remplit d'eau une demi-sphère de rayon r. Au temps t = 0, le récipient est vide et il est rempli à débit constant a. Si l'on note h = h(t) la hauteur du niveau de l'eau au temps t, exprimer en fonction de a, r et h, la vitesse à laquelle s'élève ce niveau.

Indication : le volume de la calotte sphérique (la partie remplie d'eau de la demi-sphère) est égal à: (pi*h^2(3r-h))/3

Je ne vois pas trop ce qu'il faut que je fasse... Je sais que je dois exprimer la vitesse, qui est normalement la dérivée d'une distance... mais j'avoue que là je bloque un peu!

Si je dérive le volume en fonction de h, ce qui donne : pi*h(2r-h), qu'est ce que ça représente concrètement ?

Merci pour votre aide précieuse

[zygomatique]

salut

entre deux instants t et t + dt le volume passe de v(t) à v(t + dt) et donc sa hauteur passe de h(t) à h(t + dt)

il suffit donc de calculer h(t + dt) - h(t) et de diviser par dt pour obtenir h'(t)

[Ben314]

Salut,
Effectivement, de dériver le volume, vu la question posée, ben, à priori, on voit pas trop le rapport avec la question.
De plus, de dériver V par rapport à h, et pas par rapport au temps t ça semble encore plus sans rapport avec le problème posé (et c'est justement la notion de "fonction implicite" qui va te dire qu'au fond il y a un certain rapport entre les deux, mais un rapport indirect).

Le truc qu'il faut évidement utiliser à un moment ou un autre, c'est le fait que "le récipient est rempli à débit constant a" et évidement il faut comprendre que la hauteur h et le volume V de flotte dans le récipient, il faut les voir comme des fonction de t.
Bref, la formule qu'on te donne (et je trouve ça très con qu'on te demande pas de la démontrer vu que c'est élémentaire), il faut la comprendre sous la forme :
Quelque soit t appartenant à ???, on a

Vu sous cet angle, ça signifie quoi que "le récipient est rempli à débit constant a" ?
Qu'en déduit-on ?

[ptitsuisse]

Merci à vous deux pour vos réponses! Zygomatique, j'avoue que ta réponse ne m'as pas beaucoup éclairée malheureusement ... ^^

Vu sous cet angle, ça signifie quoi que "le récipient est rempli à débit constant a" ?
Qu'en déduit-on ?

D'après ce que j'ai compris, a est une constante qui n'évolue pas en fonction du temps. Le débit sera toujours le même, peut importe le temps. Mais je ne vois pas où intégrer cela dans le problème... Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi 'a' n'est pas présent dans la formule du volume! car le volume d'eau présent dans la sphère dépend du débit non? S'il n'y a pas de débit, il n'y a pas d'eau! donc pas de volume ! non?

Ou alors c'est 'h' qui dépend de 'a'?

[zygomatique]

c'est quoi un débit ?

[ptitsuisse]

Une quantité d'eau en fonction du temps?

[Ben314]

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi 'a' n'est pas présent dans la formule du volume! car le volume d'eau présent dans la sphère dépend du débit non? S'il n'y a pas de débit, il n'y a pas d'eau! donc pas de volume ! non?

Ben... essaye de réfléchir un peu : forcément que le débit n'est pas présent dans la formule vu que la formule en question ne traduit absolument rien concernant le débit : elle donne uniquement un lien entre la hauteur d'eau et le volume d'eau.
Par exemple, dans la formule en question, absolument rien n'interdit à V(t) d'être constant égal à zéro, c'est à dire rien n'interdit qu'il n'y ait jamais de flotter dans le bidule. Dans ce cas, tout ce que te dit la formule, c'est que la hauteur d'eau sera elle aussi constamment nulle (vachement étonnant non ?)

Bref, la formule qui va traduire que "le débit est constant égal à a", c'est évidement pas du tout celle là.
Et pour savoir laquelle c'est, ben... faut évidement arriver à répondre au post de zygomatique çi dessus : si tu sait pas ce que c'est qu'un "débit", je vois pas comment tu peut espérer faire quoi que ce soit dans un tel exo !

Une quantité d'eau en fonction du temps?

C'est on va dire poliment "très vaguement ça", mais c'est encore très loin d'une quelconque équation.
Quel lien-y a-t'il entre "le débit" et les variables qu'on a déjà défini : (le temps) ; (le volume de flotte à l'instant ) ; (la hauteur d'eau à l'instant ) plus éventuellement d'autres trucs qu'on a pas encore nommé ?

[ptitsuisse]

Ils sont tous liés au temps ?
Est-ce correct de dire que le débit = a*t?

[zygomatique]

plutôt que de répondre plus ou moins n'importe quoi et si tu allais voir un cours (ou internet) ce qu'est exactement un débit ?

[Ben314]

Est-ce correct de dire que le débit = a*t?

a*t, c'est effectivement "quelque chose", mais c'est surement pas "le débit" vu que l'énoncé te dit clairement que le débit, c'est a.