Dense

[zork]

bonsoir,

on me demande de montrer que Q est dense dans R
ca veut dire qu'il faut montrer que l'adhérence de Q =R

je fais une double inclusion: R inclus dans l'adhérence de Q c'est évident mais comment montrer que l'adhérence de Q est dans R?


merci

[Skullkid]

C'est plutôt le fait que l'adhérence de Q (dans R) soit incluse dans R qui est évident, puisque tu travailles dans l'espace topologique R. Démontrer que R est inclus dans l'adhérence de Q est la partie difficile.

Tu peux par exemple montrer qu'entre deux réels distincts il existe toujours un rationnel. Ou alors que tout réel peut s'écrire comme limite d'une suite de rationnels. Mais ce serait bien de voir les propriétés de R que tu as à disposition.

[zork]

je sais qu'entre 2 rationnel il y a une infinité d'irrationnel

donc je doit montrer ca:
soit x,y dans R, existe -t-il un e tel que x

[zork]

je prend x,y dans R et e=(x+y)/2 et c'est un rationnel

[Luc]

Non!
Sinon en prenant et , on aurait est rationnel, ce qui n'est pas.
Il faut voir comment on peut approcher un réel par des rationnels (par exemple grâce à un encadrement à base de , qui est même décimal!)

Luc

je prend x,y dans R et e=(x+y)/2 et c'est un rationnel

[Skullkid]

Tu dois en effet montrer que si x et y sont deux réels donnés tels que x < y, il existe un rationnel q tel que x < q < y. Si x ou y est irrationnel, (x+y)/2 n'a aucune raison d'être rationnel (par exemple x = 0 et y = pi).

[zork]

la vache c'est dur comme exo

en faite pour les vacances j'ai emprunté un bouquin (la géométrie du caoutchouc) pour réviser la topologie que j'avais fais en L2 et partir correctement en L3: comme dans les autres UE qui ne me gène pas

du coup vu comment je suis doué :euh: , vous pensez que je devrai faire quoi comme type d'exo? en sachant qu'en L2, j'ai vu les espaces normés, les distances,ouvert,fermé,compact, la définition de dense, intérieur,adhérence. Mais par contre on est resté dans R^n