Dénombrement et morphisme de groupe

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exo mélangeant dénombrement et morphisme de groupe, mais je suis vraiment naze en dénombrement, du coup j'aurais besoin d'un petit coup de pouce svp.


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Soit un groupe commutatif fini de cardinal n, et H un sous-groupe de G

Soit un caractère de H.

Je dois :

1) déterminer le nombre de caractères de G tel que

2) Montrer que l'ensemble des caractères de G est fini et de cardinal égal à celui de G


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Pour la 1) :

(anciennement une horreur)

Pour la 2) : je comprends bien qu'il faudra faire une partition de l'ensemble des caractère de G, mais honnêtement je vois pas trop laquelle...


En gros je vous cache pas que je suis même perdu avec ce genre de dénombrement.
Du coup j'aurai vraiment besoin d'aide svp.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[zygomatique]

salut

un caractère est un morphisme .... tu ne peux donc pas choisir arbitrairement les images ....

en particulier

[jonses]

salut

un caractère est un morphisme .... tu ne peux donc pas choisir arbitrairement les images ....

Ah ! je m'en doutais que quelque chose clochait avec mon raisonnement...

en particulier

ça je l'avais déjà remarqué, c'est d'ailleurs ce qui m'a permis de montrer que les caractère de G vont de G dans , et donc que l'ensemble des caractères de G est fini.

Mais je vois trop pas en quoi ça peux me servir... enfin je suis sûrement à côté de la plaque..

[Doraki]

Ton énoncé est bizarre
Si tu prends H = {0}, la question 1 donne la réponse à la 2 gratuitement

T'as pas oublié un truc du genre G/H cyclique ou je ne sais quoi ?

Le mieux que je vois c'est de dire qu'il y en a autant que de caractères de G/H, puis de faire une induction pour la question 2.

au total on a nr choix

:mur: :briques:

[Ben314]

Salut,
Perso, partant du caractère défini sur , je le prolongerais "petit à petit", c'est à dire, si , je prendrais un et je regarderais comment prolonger en un caractère défini sur le sous-groupe ce qui revient à déterminer ce qu'on a le droit de prendre pour et un mini calcul montre qu'on peut prendre n'importe quelle racine -ième du complexe où est le plus petit entier naturel tel que .

Évidement, si , on recommence (donc une façon sans doute plus jolie de rédiger est une récurrence sur |G| / |H| )

[jonses]

Ton énoncé est bizarre
Si tu prends H = {0}, la question 1 donne la réponse à la 2 gratuitement

Euh... là je comprends pas pourquoi...

Si H={neutre de G}, le nombre de caractère de G qui sont égal à h sur H, c'est égal au cardinal de l’ensemble des caractères de G (h est égal à la fonction constante égal à 1) : là je vois pas pourquoi je conclurais immédiatement la question 2

T'as pas oublié un truc du genre G/H cyclique ou je ne sais quoi ?

Non, je t'assure, c'est bien l' énoncé en entier

:mur: :briques:

J'enlève tout de suite mes conn**ies :euh: