Demontrer non rationnalité de Racine(3)

[juve1897]

Bonsoir,

je voulais démontrer que est non rationnel de la meme maniére que l'on démontre .

C'est à dire.

Supposons que soit un nombre rationnel,
Donc il peut s'écrire de la manière suivante:
avec

comme

alors


D'où
ce qui veut dire que
D'où

On a donc,

ce qui veut dire que
On a donc et
Il y'a contradiction car

Donc n'est pas un nombre rationnel.

Est ce que l'on peut raisonner de la sorte ?

Merci

[xyz1975]

Bonsoir,
Oui c'est bon ce que vous avez fait (j'ai lu rapidement mais c'est le même principe que pour racine de 2)

[juve1897]

Merci,

mais le probleme c'est que avec ce genre de raisonnement je peux meme demontrer que est non rationnel, or on sait bien qu'il l'est.

[xyz1975]

Faites la démonstration et on discutera, noubliez pas que 3 est premier.

[miikou]

héhé :D :D

[juve1897]

Mais si je remplace dans la demo (ci dessus) 3 par 4 on a:


----------- ( je copie colle le raisonnement d'avant) -----------

Supposons que soit un nombre rationnel,
Donc il peut s'écrire de la manière suivante:
avec

comme

alors


D'où
ce qui veut dire que
D'où

On a donc,

ce qui veut dire que
On a donc et
Il y'a contradiction car

Donc n'est pas un nombre rationnel.

Est ce que c'est faux ou pas ??

[xyz1975]

ce qui veut dire que

voilà l'erreur, 4 divise un produit cela ne veut pas dir qu'il divise cque produit, prenez par exemple :
p=2 ou alors p=6.

4 n'est pas un nombre premier par contre 2 et 3 sont premiers on ne peut pas les décomposer.

[juve1897]

Ok merci beaucoup. Je me demandais pourquoi ça marchait aussi pour les nombre rationnel.

donc comment on demontre pour ??
On peut dire que comme est un produit de 2 nombres non rationnels ( et ) il est non rationnel

[xyz1975]

donc comment on demontre pour ??
On peut dire que comme est un produit de 2 nombres non rationnels ( et ) il est non rationnel

Le produit dans l'ensemble des irrationnels n'est pas stable dans le sens où, le produit de deux irrationnels n'est pas forcement irrationel, un simple exemple X=9

[juve1897]

Vous avez tout à fait raison, quelle erreur bête de ma part.

Dans ce cas là comment peut on faire pour démontrer que est non rationnel ??

[Nightmare]

Salut :happy3:

Ca marche de la même façon

On suppose qu'il existe m et n entiers premiers entre eux tels que m²=6n².

m² et n² sont premiers entre eux.

D'après Gauss, on en déduit que m² divise 6. La seule possibilité est m=1.
Alors 6n²=1. Contradiction.

:happy3:

[xyz1975]

On a un théorème qui dit que :
n étant un entier naturel alors soit \sqrt{n} est un entier naturel soit \sqrt{n} est irrationnel

[juve1897]

Salut :happy3:

Ca marche de la même façon

On suppose qu'il existe m et n entiers premiers entre eux tels que m²=6n².

m² et n² sont premiers entre eux.

D'après Gauss, on en déduit que m² divise 6. La seule possibilité est m=1.
Alors 6n²=1. Contradiction.

:happy3:

Merci beaucoup, ta démonstration est beaucoup plus courte que la mienne (pour ).

Par contre y'a t'il une démonstration pour prouver que si alors

[xyz1975]

Salut :happy3:

Ca marche de la même façon

On suppose qu'il existe m et n entiers premiers entre eux tels que m²=6n².

m² et n² sont premiers entre eux.

D'après Gauss, on en déduit que m² divise 6. La seule possibilité est m=1.
Alors 6n²=1. Contradiction.

:happy3:

Je vois pas peut être je suis fatigué il est 02h05

[xyz1975]

Vous avez tout à fait raison, quelle erreur bête de ma part.

Dans ce cas là comment peut on faire pour démontrer que est non rationnel ??

La réponse est à mon avis c'est le théorème qui dit que :
n étant un entier naturel, alors soit est un entier naturel, soit est irrationnel.

la preuve est facile, on peut aussi utiliser des moyens pûrement algébrique.

[juve1897]

La réponse est à mon avis c'est le théorème qui dit que :
n étant un entier naturel, alors soit est un entier naturel, soit est irrationnel.

la preuve est facile, on peut aussi utiliser des moyens pûrement algébrique comme les extensions de corps (si ma mémoire est bonne).

Ok mais si le but de l'exo est de démontrer qu'il est irrationnel, je pense qu'il est mal choisi de citer le théorème en guise de demo.
Je me trompe ?

[xyz1975]

Regardez alors la démonstration de Nightmare.

[Nightmare]

Par contre y'a t'il une démonstration pour prouver que si alors

C'est assez simple :

On considère un diviseur premier d commun à p² et q².
d divise p² et est premier. Conséquence de Gauss, il divise p.
Par le même raisonnement il divise q.

Or p et q sont premiers entre eux donc d = 1

:happy3:

[juve1897]

Regardez alors la démonstration de Nightmare.

Oui, mais vous sembliez en désaccord avec cette demo justement

[juve1897]

C'est assez simple :

On considère un diviseur premier d commun à p² et q².
d divise p² et est premier. Conséquence de Gauss, il divise p.
Par le même raisonnement il divise q.

Or p et q sont premiers entre eux donc d = 1

:happy3:

Pourquoi faut il qu'il soit forcement premier ce diviseur commun ???