Demontrer non rationnalité de Racine(3)

[Nightmare]

Tout nombre se décompose en facteur premier non? Donc c'est légitime de supposer ce diviseur premier.

[magnolia86]

Tout nombre se décompose en facteur premier non? Donc c'est légitime de supposer ce diviseur premier.

Pas 0 ...

Dans les preuves utilisant la factorisation des entiers, on oublie très souvent le cas particulier du nombre 0... et pourtant c'est un nombre qui a le droit de vivre lui aussi :ptdr:

Une autre démo, basée non pas sur la factorisation des entiers et le lemme de Gauss, mais l'identité de Bezout

Si (a;b) = 1 alors il existe u,v tels que 1=ua+vb (Bezout)
Il vient alors
ce qui prouve (a²;b²)=1

...et là, pas de cas particulier oublié :zen:

[magnolia86]

On suppose qu'il existe m et n entiers premiers entre eux tels que m²=6n².
m² et n² sont premiers entre eux.
D'après Gauss, on en déduit que m² divise 6. La seule possibilité est m=1.
Alors 6n²=1. Contradiction.

Une autre manière de voir est de considérer les valuations 2-adique (gros mot qui signifie peu de chose en fait) ou 3-adique de m² et 6n² : la valuation de m² est paire (si finie) alors que celle de 6n² est impaire (si finie), donc m²=6n² implique m=0=n.

Après, on conclut ce que l'on veut : par exemple, si alors .

[magnolia86]

Tout nombre se décompose en facteur premier non? Donc c'est légitime de supposer ce diviseur premier.

Pas 0 ...

Dans les preuves utilisant la factorisation des entiers, on oublie très souvent le cas particulier du nombre 0... et pourtant c'est un nombre qui a le droit de vivre lui aussi :ptdr:

Une autre démo, basée non pas sur la factorisation des entiers et le lemme de Gauss, mais la simple identité de Bezout

Si (a;b) = 1 alors il existe u,v tels que 1=ua+vb (Bezout)
Il vient alors
ce qui prouve (a²;b²)=1

...et là, pas de cas particulier oublié :zen:

On suppose qu'il existe m et n entiers premiers entre eux tels que m²=6n².
m² et n² sont premiers entre eux.
D'après Gauss, on en déduit que m² divise 6. La seule possibilité est m=1.
Alors 6n²=1. Contradiction.

Une autre manière de voir est de considérer les valuations 2-adique (gros mot qui signifie peu de chose en fait) ou 3-adique de m² et 6n² : la valuation de m² est paire (si finie) alors que celle de 6n² est impaire (si finie), donc m²=6n² implique m=0=n.

Après, on conclut ce que l'on veut : par exemple, si alors .

[magnolia86]

La réponse est à mon avis c'est le théorème qui dit que :
n étant un entier naturel, alors soit est un entier naturel, soit est irrationnel.

la preuve est facile, on peut aussi utiliser des moyens pûrement algébrique.

Cela se prouve très facilement, on peut même parler de racine k-ième de n :

soit une fraction irréductible vérifiant avec . Il vient, donc b divise . Or pgcd(a,b)=1, donc , et enfin , d'où .

Autrement dit, une racine k-ième d'un entier est soit entière, soit irrationnelle.