Démonstration du théorème du point fixe

[log86]

Bonjour , je me pose une question sur la démonstration du théorème du point fixe:
Soit I un intervalle fermé de R et f une application définie sur I telle que f(I)cI.
Si f est contractante alors f admet un unique point fixe aEI et quelque soit cEI la suite (un) définie par u0=c et u(n+1)=f(un) converge vers a.

Dans toutes les démonstrations que je trouve , on montre que la suite (un) est de cauchy donc convergente puis on montre que a=f(a)
puis on montre l'unicité de ce point fixe.

Mais est ce que c'est faux de montrer l'unicité , puis de partir de
|u(n+1)-a|=|f(un)-f(a)| inf) |un - a| =0 car =exp(n*ln(k)) tend vers 0.
Donc lim(n tend vers +inf)|u(n+1)-a|=0 donc (un) converge vers a.
Voilà je voulais savoir si c'était faux .
Merci

[emdro]

Bonjour,

tu démontres:
*qu'il n'y peut pas y avoir plus d'un point fixe,
*que s'il y a un point fixe a, les suites récurrentes tendent vers a.

Je ne vois pas à quel moment tu prouves l'existence du point fixe.

[log86]

Bonjour , merci pour ta réponse. J'ai compris.
Selon toi , est ce que si je coupe mon théorème en 2 je peux faire ce que je voulais faire.
Je m'explique.
Si je mets en premier, le thm suivant.
Soit f:[a,b]->[a,b] une fonction continue sur [a,b] dérivable sur ]a,b[ et k appartenant à [0,1[.
Si quelque soit x appartenant à ]a,b[ |f '(x)|<=k alors l'équation f(x)=x admet une unique solution dans [a,b]

Comme çà j'ai bien l'existence et l'unicité.

Puis le corollaire: Sous les mêmes hypothèses que le théorème précédent , la suite (un) définie par u0 appartient à [a,b] et u(n+1) = f(un) est convergente et sa limite est le point fixe de f.

Est ce que pour la démo de ce corollaire je peux utiliser ce que j'ai dit avant?
car il n'y a plus de problème d'existence.

Merci

[emdro]

Oui, ça marche.

Personnellement, pour ne pas mélanger les notions, je séparerais en 3 étapes:
* si f:[a,b]->[a,b] est continue alors elle admet au moins un point fixe. (dérivabilité non nécessaire)
* si f est contractante (|f(y)-f(x)|<=k|y-x| avec 0<=k<1) alors f ne peut avoir plus d'un point fixe.

En réunissant les deux, tu as ton premier point. Et dans une hypothèse moins forte que la tienne: je n'ai pas eu besoin de supposer f dérivable. Si elle l'est dans tes conditions, tu prouveras aisément par le TAF qu'elle est contractante. :happy2:

*Troisième point: celui des suites récurrentes. Et là, pas de problème, ça marche en corrigeant toutefois les un qui sont en fait des u0!

[log86]

Oui excuse moi merci pour à la place de
Sinon oui c'est vrai que c'est peut être mieux de séparer en 3

Merci beaucoup pour ton aide

[leon1789]

Bonjour , je me pose une question sur la démonstration du théorème du point fixe:
Soit I un intervalle fermé de R et f une application définie sur I telle que f(I)cI.
Si f est contractante alors f admet un unique point fixe aEI et quelque soit cEI la suite (un) définie par u0=c et u(n+1)=f(un) converge vers a.

--> quel que soit cEI :marteau:

[ffpower]

cette demo ne marche par contre que dans le cas ou I est compact,alors que la demo "classique" marche pour tout intervalle fermé