Démonstration prorpiété nombres décimaux

[Ludo1be]

Bonjour,

J'aimerais démontrer ceci:
Soit. est inversible par rapport à la multiplication si et seulement si il est de la forme avec .

J'ai un si et seulement si donc je dois démontrer:

Pour:

Je prends:
et
Si d.d'=1 alors et donc par déf d'un nombre décimal.

Après on me dit:
Ce qui impose que m+m'>=0 et n+n'>=0 (car 2 divise pas 5 et 5 divise pas 2) donc par le théorème de gauss: on peut dire que seuls les éléments sous la forme sont inversibles.

C'est là ou je cale, je connais ce théorème mais je vois mal comment il a été appliqué

[arnaud32]

Bonjour,

J'aimerais démontrer ceci:
Soit. est inversible par rapport à la multiplication si et seulement si il est de la forme avec .

J'ai un si et seulement si donc je dois démontrer:

Pour:

Je prends:
et
Si d.d'=1 alors et donc par déf d'un nombre décimal.

Après on me dit:
Ce qui impose que m+m'>=0 et n+n'>=0 (car 2 divise pas 5 et 5 divise pas 2) donc par le théorème de gauss: on peut dire que seuls les éléments sous la forme sont inversibles.

C'est là ou je cale, je connais ce théorème mais je vois mal comment il a été appliqué

si r premier diveise p, il divise pp' donc il divise le produit il divise donc (par gauss) ou donc r divise 2 ou 5 (de nouveau apr gauss)

[Ludo1be]

Je ne vois pas encore très bien.

Reprenons. On a que:


On se demande à quelle conditions est-ce que ceci est un nombre naturel. On sait que 2 ne divise pas 5 et 5 ne divise pas 2.
Dès lors, si j'ai un exposant négatif à 5 ou 2, mon nombre ne sera plus naturel. Ca je suis d'accord, je vois bien maintenant alors pourquoi: m+m'>=0 et n+n'>=0

Par contre après je ne vois pas trop avec le r, je comprends pas trop ce qu'il vient faire dans ce cas-ci.
Merci de ton aide Arnaud.

[arnaud32]

Je ne vois pas encore très bien.

Reprenons. On a que:


On se demande à quelle conditions est-ce que ceci est un nombre naturel. On sait que 2 ne divise pas 5 et 5 ne divise pas 2.
Dès lors, si j'ai un exposant négatif à 5 ou 2, mon nombre ne sera plus naturel. Ca je suis d'accord, je vois bien maintenant alors pourquoi: m+m'>=0 et n+n'>=0

Par contre après je ne vois pas trop avec le r, je comprends pas trop ce qu'il vient faire dans ce cas-ci.
Merci de ton aide Arnaud.

maintenant tu vas chercher quels sont les divieseurs premiers de p.
pour cela tu utilises le fait que avec a et b dans N

[Ludo1be]

Donc on sait que les éléments de la forme sont inversibles avec m+m'>0 et n+n'>0.

Je ne peux pas m'arrêter là?
Je vois pas quoi préciser en + avec le théorème de Gauss en fait :/

Désolé, ça peut paraître bête :s

[arnaud32]

Donc on sait que les éléments de la forme sont inversibles avec m+m'>0 et n+n'>0.

Je ne peux pas m'arrêter là?
Je vois pas quoi préciser en + avec le théorème de Gauss en fait :/

Désolé, ça peut paraître bête :s

la on cherche a caracterise tous les elements inversibles
tu utilises gauss pour trouver les facteurs premiers qui sont dans p et p'

[Ludo1be]

Ok merci, je pense avoir compris.

Sinon, j'ai mis:
mais c'est pas plutot: ? Puisque le numérateur d'un nombre décimal peut etre entier négatif?
Même si ça ne change rien au raisonnement par la suite.

[Ludo1be]

Désolé pour le double post mais du coup alors, la propriété est fausse? Car p,q sont dans N et non dans Z?