Démonstration d'inégalité

[Arony]

Bonsoir à tous,

Je suis actuellement en prépa ECE et je suis face à un petit problème, le voici :

En considérant le trinôme suivant : P(x)=(a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2+(a3x+b3)^2, en sachant que a1,a2,a3,b1,b2,b3 sont des réels quelconques et que donc les 1,2,3 sont des indices.

Je dois montrer que : (a1b1+a2b2+a3b3)^2<=(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)

J'ai essayé en développant tout d'abord dans les deux sens, ceci n'a rien donné.

Donc j'ai tenté de travailler avec le discriminant du polynôme dans lequel je m'y suis perdu.

Je ne vous demande pas de me le faire en entier, il n'y aurait aucun intérêt mais juste un petit début comme une indication pour que j'avance dans ma démonstration.

Merci d'avoir lu ce message et à bientôt j'espère =)

[SaintAmand]

Donc j'ai tenté de travailler avec le discriminant du polynôme dans lequel je m'y suis perdu.

Et pourtant… Il suffit d'écrire que .

[Arony]

Et pourtant… Il suffit d'écrire que .

Je suis d'accord avec toi mais en quoi ceci me permet de me démontrer ceci.

c'est ce pont là que je ne comprends pas

[SaintAmand]

Je suis d'accord avec toi mais en quoi ceci me permet de me démontrer ceci.

Cela se voit de tête. Donc je ne vois pas quoi te dire de plus sans te donner la réponse à part d'écrire le discriminant avec l'inégalité à démontrer sous les yeux.

[wserdx]

Je suis d'accord avec toi mais en quoi ceci me permet de me démontrer ceci.

c'est ce pont là que je ne comprends pas

Premièrement, en développant tu vois qu'il s'agit d'un polynôme du second degré en .
Écris le sous la forme , avec dépendant de
D'autre part, s'écrit comme une somme de 3 carrés, donc pour tout .
ne peut avoir deux racines distinctes réelles. Donc son discriminant est négatif ou nul.

[Arony]

Je me suis sûrement mal exprimé , enfin de compte , j'ai déjà trouvé que delta=o
Mais je ne sais comment. Partir de la exploiter ce résultat et revenir à une inégalité ..

[Pythales]

Je me suis sûrement mal exprimé , enfin de compte , j'ai déjà trouvé que delta=o
Mais je ne sais comment. Partir de la exploiter ce résultat et revenir à une inégalité ..

Tu peux remarquer que l'inégalité exprime que

[Arony]

Que je suis bête sur ce coup la ...

J'ai delta <=0 donc en remplacement delta par le discriminant et en passant de l'autre côté , j'obtiens donc l'inégalité demandé.

En vous remerciant beaucoup.

Je comprends mieux pourquoi c'était évident , il suffisait de réécrire mdrr

Merci beaucoup en tout cas

[Arony]

Du coup, de manière analogue , je suis arrivé à l'inégalité de cauchy-schwartz.

Comment a partir de cette inégalité, je peux déduire des minorations ou majorations ?

Merci d'avance !

[Luc]

Du coup, de manière analogue , je suis arrivé à l'inégalité de cauchy-schwartz.

Comment a partir de cette inégalité, je peux déduire des minorations ou majorations ?

Merci d'avance !

Il y a plein d’inégalités qui sont des applications de Cauchy-Schwarz (Sans t celui ci, contrairement à Laurent Schwartz qui est un autre mathématicien, du XXè siècle celui-là).

Une façon de voir Cauchy-Schwarz est de dire que la valeur absolue du produit scalaire est inférieure au produit des normes. Donc dès que tu as un produit scalaire sur un espace vectoriel, tu peux appliquer Cauchy-Schwarz et hopefully en déduire des inégalités intéressantes. Rien n'interdit de choisir des espaces vectoriels exotiques comme des espaces de fonctions, etc.

[Arony]

Okey je comprends où tu veux en venir.

Par contre, nous n'avons pas vu les produits scalaires, est-ce embêtant pour la résolution de la minoration et majoration ?

Je dois déterminer la minoration de : [TEX] \sum_1^n x^k *\sum_1^n 1/x^k /TEX]

Voici je dois déduire une minoration de ça

[Arony]

EUh, mon Latex beug désolé .

Ps: Si quelqu'un peut me dire pourquoi il ne fonctionne pas en même temps qu'une indication pour la minoration

Bien le merci =)

[Luc]

Hop, je reposte l'équation

Pour le produit scalaire, tu n'as pas vu le produit scalaire de deux vecteurs du plan en première S?
Cela suffit largement pour comprendre cette interprétation de Cauchy-Schwarz.

La pour pouvoir appliquer Cauchy-Schwarz on a envie de dire que et
sont des normes. (pour pouvoir minorer le produit, par Cauchy-Schwarz). Quel serait le "produit scalaire" correspondant?

PS : Si tu ne vois pas, tu peux toujours prendre n=2 et essayer de voir quelle minoration tu peux établir directement (avec des arguments du type : identité remarquable + un carré est toujours positif)

[Luc]

Bon en fait, il y a un moyen direct un peu astucieux de minorer cette quantité. En effet,
= (termes en ) + termes de la forme avec .
On utilise ensuite la minoration bien connue (en tout cas très utile) .
Et on obtient .

Tu peux essayer de te demander si le cas d'égalité est possible en cherchant un exemple de x pour lequel ce cas est atteint.

[Arony]

Non je n'ai jamais vu les produits scalaires puisque je viens de la filière ES.

Sinon je vais aborder ta démarche pour voir ce que j'en retire.

En te remerciant d'avance de ta participation à mon égard.

[Luc]

D'accord! Tout s'explique donc. Du coup vous avez vu Cauchy-Scwarz sans dire ce qu'est un produit scalaire?

[Arony]

Non On ne l'a pas vu.

C'est un exercice, je tente de prendre de l'avance sur les TD.

On devait partir du polynôme que j'ai posé plus haut, et nous en sommes arrivé à cette inégalité.
Puis, maintenant je dois "surment à apprendre à l'appliquer" donc, il me demander de prouver une minoration de ce que j'ai posé et par la suite, y a une majoration à identifier.


Donc je pense qu'on a fait indirectement la démonstration tout le long et maintenant, je dois l'appliquer deux fois : Une fois pour la minoration ( Le problème posé ici) et une majoration d'une autre somme.

[Arony]

Je reviendrai demain pour continuer et analyser ce que tu m'as proposé et voir si je m'en sors, j'ai quelques trucs à préparer avant.

A demain et encore merci beaucoup pour cet avancement.

Cordialement =)

[Arony]

Salut, Luc, j'ai su retrouver ton raisonnement du coup, il y a la minoration dans ton développement si j'ai bien compris.

Avec les valeurs absolus, il aurait fallu faire comment ? ça sera toujours un plus pour moi si je le sais le jour des concours.

En te remerciant d'avance =)

[Luc]

Salut, Luc, j'ai su retrouver ton raisonnement du coup, il y a la minoration dans ton développement si j'ai bien compris.

Avec les valeurs absolus, il aurait fallu faire comment ? ça sera toujours un plus pour moi si je le sais le jour des concours.

En te remerciant d'avance =)

Et bien ici, on travaillait avec des nombres réels positifs, donc pas besoin de valeur absolue.
Lorsque tu travailles avec les valeurs absolues, il n'y a que deux inégalités à connaître et à utiliser :
1) implique |
2) L'inégalité triangulaire avec égalité si et seulement si et sont de même signe.
Remarque que cette inégalité triangulaire implique que donc , et de même, donc .
(au moins un des deux nombres |x|-|y| et |y|-|x| étant négatif, il n'y a qu'une des deux inégalités qui est intéressante).
L'inégalité triangulaire peut également se généraliser par récurrence à n nombre réels, et même aux nombres complexes.