Demo fonction dérivable et taux d'accroissement

[Rifl3]

Bonjour,
Je n'arrive pas à démontrer une démo du cours, qui est la suivante :

Si f:I->F continue sur I mais dérivable sur I\{a} et privé de ses points frontières. (a€I)
Et si lim f'(x)= l (lorsque x->a par valeur différentes)
Alors le taux d'accroissement de f en a tend vers l (lorsque x->a par valeur différentes)

Il nous a donné comme indication d'utiliser l'IAF, mais je n'ai quand même pas réussi. Pourriez vous me donner des indications pour cette demo en utilisant l'IAF

Merci beaucoup.

[Nightmare]

Hello,

qu'as-tu essayé? Que nous dit l'IAF et que voudrait-on obtenir avec?

[Rifl3]

Hello,

qu'as-tu essayé? Que nous dit l'IAF et que voudrait-on obtenir avec?

Salut,
Et bien je ne vois vraiment pas d'où partir. ^^
Il y a deux formes d'IAF dans notre cours :
-si f continue derivable... et si
alors
ou bien
-si f continue derivable... et si
alors

Je ne vois pas comment faire intervenir la limite de f'(x) dans l'hypothese afin d'en déduire la limite du taux d'accroissement

[Nightmare]

Ce qu'on voudrait montrer, c'est que quel que soit epsilon il existe un intervalle centré en a sur lequel où .

Ca ressemble déjà un peu à l'inégalité des accroissements fini non?

Par hypothèse, on sait que f' converge vers l et nous ce qu'on voudrait c'est un certain encadrement de f' pour pouvoir appliquer l'IAF et obtenir l'inégalité ci-dessus. Ne vois-tu pas un lien entre la convergence et un encadrement potentiel?

[Rifl3]

Ce qu'on voudrait montrer, c'est que quel que soit epsilon il existe un intervalle centré en a sur lequel où .

Ca ressemble déjà un peu à l'inégalité des accroissements fini non?

Par hypothèse, on sait que f' converge vers l et nous ce qu'on voudrait c'est un certain encadrement de f' pour pouvoir appliquer l'IAF et obtenir l'inégalité ci-dessus. Ne vois-tu pas un lien entre la convergence et un encadrement potentiel?

Si ok merci, je n'avais pas trop pensé à revenir à l'epsilon.
Je trouve comme encadrement :
pour l'IAF 1
ou pour l'IAF 2
Et j'ai juste à appliquer l'IAF à f'(x) pour l'IAF 1 et a f'(x)-l pour l'IAF 2.

Merci beaucoup, mais c'est vrai, qu'en passant par l'epsilon ça se fait facilement :mur:

[Nightmare]

Attention tout de même, il y a des précautions à prendre.

Dans l'IAF, on travaille sur un intervalle ouvert sur lequel la fonction est dérivable. Mais ici, a priori, on a pas la dérivabilité en a. Il faut donc travailler conjointement sur des intervalles du type ]b;a[ et ]a;c[

[Rifl3]

Oui, j'avais pensé à ça par contre. Merci encore :)