Dégré d'une application

[MaximusvcUcl]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour la résolution d'un éxercice, mais en réalité c'est tout le principe que je ne comprend pas trop ...

Voici l'énoncé (ce n'est pas bien sorcié): "calculez l'indice en (0,0) des champs de vecteurs tangents suivants sur R^2 : v(x,y)=(-y,x) et w(x,y)=(x^2-y^2,2xy)"

Je sais que l'indice d'un champ de vecteur X au zéro isolé m est le degré de l'application F: S^n --> S^n ; x-->X (m+epsilon.x)/||X(m+epsilon.x)||. Pour le champ de vecteur v, j'ai posé epsilon=1 car il ne s'annule qu'en m=(0,0) sur B(m,1) et la fonction F(cos t,sin t)=(-sin t,cos t) (après calcul de la norme etc.)

Maintenant voilà mon souci ;
je sais que le degré de cette application F en la valeure régulière y, est la somme des signes de dF_x pour x étant un point régulier "lié" à la valeur régulière y. Mais comment calculer cette dérivée ? Est-ce la matrice changement de bases des plans tangents ?

Bref je ne sais pas si je suis super clair, mais si qlq pourrais ecrire une solution (surtout pour le vecteur w) histoire que je comprenne la démarche/méthode à utiliser, cela m'aiderais bcp !

Mercii

[mathelot]

Bonsoir,
si on identifie (x;y) et x+iy, on remarque que et

d'où
dw=2z dz et dv=i dz avec z=x+iy et dz=dx+idy

[mathelot]

Re,
Deg(w,y)=2
Deg(v,y)=1
pour y non nul