Degré du polynome nul.

[mouteb]

Bonjour.

Alors voila je viens d'apprendre que le degré du polynôme nul est moins l'infinie et que cela a été décidé par convention.

Je sais bien qu'on ne peut pas justifier une convention mais il m'aurait semblé plus "logique" de lui donner le degré zéro (cela aurait respecté la règle de la somation des degrés lors de la sommation des polynômes).

Je me doute bien que la vraie raison m'échappe si quelqu'un voudrait bien me l'expliquer, merci d'avance.

[magnolia86]

Le degré du polynôme nul !... oula, terrain glissant...

Le polynôme nul ne peut avoir un degré que par convention, on est d'accord là dessus. Maintenant, en fonction du contexte, la convention change : on peut lui donner la valeur (borne sup de son support), ou (nombre de ses racines dans R ou C), ou plus rarement (comme tout polynome constant).


(Sans parler du degré d'homogénéïté, où là le polynôme nul est de tout degré...)

[abcd22]

Bonsoir,

Je sais bien qu'on ne peut pas justifier une convention mais il m'aurait semblé plus "logique" de lui donner le degré zéro (cela aurait respecté la règle de la somation des degrés lors de la sommation des polynômes).

Sommation des degrés lors de la sommation des polynômes ? Tout ce qu'on peut dire c'est deg (P + Q) max(deg P, deg Q), avec égalité si les degrés sont différents, et la convention deg 0 = - infini ne pose pas de problème. Pour la multiplication deg 0 = - infini est la convention la plus pratique (avec - infini + n = - infini par convention) : on peut écrire deg P deg(PQ) et deg PQ = deg P + deg Q sans s'occuper de cas particuliers.
Avec deg 0 = 0, on n'a plus toujours deg PQ = deg P + deg Q, avec deg 0 = + infini, les inégalités deviennent parfois fausses.

[magnolia86]

Bref, dans une démo, je crois qu'il vaut mieux ne pas parler du degré du polynôme nul, mais plutôt traiter à part le cas particulier... ça évite de dire des bêtises.

[abcd22]

La convention habituelle est quand même -infini, et il n'y a pas de cas particulier à traiter à part avec cette convention (au moins pour les degrés de sommes et produits), donc je ne vois pas pourquoi s'embêter à choisir une autre convention si ce n'est pas demandé.

[magnolia86]

ok mais,
ne dit-on pas qu'un polynôme dans C[X] a autant de racines que son degré ?

[nuage]

ok mais,
ne dit-on pas qu'un polynôme dans C[X] a autant de racines que son degré ?

En général on dit un polynôme non constant a autant de racines dans C que son degré.

[magnolia86]

En général on dit un polynôme non constant a autant de racines dans C que son degré.

Ben, ça fonctionne aussi pour les polynômes constants ...

[magnolia86]

Ben, ça fonctionne aussi pour les polynômes constants ...

[nuage]

Ben, ça fonctionne aussi pour les polynômes constants ...

Sauf 0. Surtout avec les conventions deg(0)=-oo et deg(0)=0.
Mais la convention deg(0)=+oo n'est guère plus satisfaisante.
Le polynôme nul a solutions dans R ou dans C

Avec

[magnolia86]

Ok d'accord, quitte à prendre une convention, autant prendre qui est le choix le plus cohérent dans la plupart des cas.

Mais, pour des étudiants (ou moi, ou d'autres...), pourquoi prendre une convention et risquer de dire des bêtises sur les degrés en oubliant le cas particulier du polynôme nul ? Un peu comme la division par 0... C'est juste mon expérience en la matière...

Le polynôme nul a solutions dans R ou dans C
Avec

:ptdr:

[xyz1975]

Bonjour,
Le degré attribué au polynôme nul c'est à cause de la structure linéaire de IR[X].

[mouteb]

Sur le principe je suis d'accord avec magnolia86, traiter le cas du polynome nul à part simplifie bien les choses.

Sinon c'est vrai que dans le cas des calculs de degrés contrairement à ce que j'avais dit la convention de moins l'infinie est cohérante.

Et sinon xyz1975 pourrais-tu développer ce que tu viens de dire?

Merci.