[Résolu] Montrer que les coefficients d'un polynôme sont nul

[Winterfell]

Bonjour,

Je suis en MPSI et on travaille sur la logique.
J'ai une fonction f définie de la façon suivante :

f : R -> R et à x, associant f(x) = ax^2 + bx + c (a, b et c étant des réels).

Je dois montrer que si pour tout réel x, f(x) = 0, alors j'ai a = b = c = 0

Étant donné que je suis sur portable, je me permets de noter P(x), l'assertion (pour tout x dans R, f(x) = 0) ainsi que Q, l'assertion (a = b = c = 0).

Voici ce que j'ai fait pour l'heure :

[center]***[/center]

Je suppose P(x) vraie et conformément à l'énoncé,

P(x) => Q

Je dois alors montrer que Q est vrai, et j'ai pensé à passer par la contraposée :

nonQ => nonP(x)

On avait auparavant supposé que P(x) était vrai, donc nonP(x) est faux.

Ma question est, est ce que j'ai le droit de supposer que Q est vrai alors que je cherche à montrer que Q est vrai ?

Ainsi, si je supposais que Q était vrai, j'aurais l'assertion (nonQ => nonP(x)) comme vraie, et donc (P(x) => Q) vraie également par contraposée, mais j'ai l'impression que mon raisonnement est malhonnête.

[center]***[/center]

Auriez vous une piste si ce raisonnement ne tenait pas la route ?

Merci d'avance !

[zygomatique]

salut

si la propriété est vraie pour tout réel alors elle est en particulier vraie pour les réels 0, 1 et -1 ...

qui est Q ?

pb :: montrer que Q est vraie

solution ::
supposons Q vraie
alors Q est vraie
donc Q est vraie

et on démontre tout et n'importe quoi ainsi ....

[mathelot]

si f est identiquement nulle :
f'' aussi,
mais f''(x)=2a=0
f'(x)=b=0
f(x)=c=0

[Robot]

En plus de ce qui a déjà été écrit, un contresens dans les notations

je me permets de noter P(x), l'assertion (pour tout x dans R, f(x) = 0)

L'assertion ne parle pas de x : x est une variable quantifiée dans l'assertion, donc une variable muette. On peut la remplacer par n'importe quoi d'autre sans changer l'assertion, par exemple : pour tout toto dans R, f(toto) = 0.
Noter P(x) cette assertion est donc un contresens.

[chan79]

Salut
La méthode la plus simple consiste bien-sûr, comme indiqué plus haut, à prendre 3 valeurs simples de x pour arriver à un système à résoudre.
Par curiosité, on peut quand même regarder du côté de la contraposée comme tu l'as fait.
Supposons que (a;b;c) soit différent de (0;0;0)
Il faut alors démontrer qu'on peut trouver un x tel que f(x) est non nul.
Si a est non nul, la limite de f(x) quand x tend vers est ou. On montre facilement que la fonction f n'est pas identiquement nulle.
Si a est nul:
deux cas à envisager:
1°) si b est nul
c n'est pas nul puisqu'on a supposé (a;b;c)(0;0;0) et f(0) est non nul puisqu'il est égal à c.
2°) si b est non nul
On peut faire comme précédemment avec la limite.

[Winterfell]

Salutation,

Merci à tous pour vos réponses.

J'admets que mon raisonnement a été très maladroit (bien que j'en avais un peu conscience, d'où ce topic).

Je vais donc utiliser un système d'équation comme vous le préconisez.

Merci à tous !

[mathelot]

on sait que la formule de Taylor est exacte pour les polynômes


avec n=deg(P)

donc P=0 implique que tous les coefficients sont nuls