Décompositions en éléments simples

[Elo80]

Bonjour,

Mon exercice est : décomposez en éléments simples les fractions suivantes: f(x) = P(x) /Q(x) = (x^4) +2/(x^3) -3(x^2) +4
Je ne comprends pas du tout ce que je dois faire et quelle méthode employée, pouvez-vous m'aiguiller afin que je puisse essayer
Merci d'avance

[pascal16]

si o rajoute des parenthèses, tuas
-> un polynôme de degré 4 / un polynôme de degré 3

la première étape est d'écrire la fraction sous la forme: (pol de degré 1) + une fraction où le dénominateur est de degré inférieur au numérateur

la seconde est de factoriser le dénominateur

la suivante est de "découper" en fonction des facteurs

le dernière est de déterminer les coefficients des numérateurs

[lyceen95]

Et pour compléter le message de Pascal16, il dit qu'il faut trouver un truc de la forme

(pol de degré 1) + une fraction où le dénominateur est de degré inférieur au numérateur

Pourquoi un polynome de degré 1 pour commencer ?

Ta fraction, c'est :{pol de d° 4] divisé par {pol de d° 3}
On fait donc 4-3, on trouve 1. Donc le 1er terme de notre décomposition en éléments simples, c'est un polynome de d° 1.

[Elo80]

Bonjour,
J'ai essayé mais je bloque et je ne comprends pas ce que vous entendez par découper en fonction des facteurs. Je ne comprends pas non plus votre dernière étape.
Et je ne pense pas avoir bien débuté :
f(x) = (x^4) +2/(x^3) -(3x^2) +4
=x ((x^3) +2) -2x/(x^3) -(3x^2) +4
=x((x^3) +2) -2x/x^2 (x-3) +4

[fatal_error]

bonjour,

la première chose, ca serait que tu parenthèses __correctement__. Même au collège ils savent parenthèser!
donc (x^4 +2)/(x^3 -3x^2 +4) =
à noter que l'usage de parenthèses pour (x^2) + 2 est inutile.

[fatal_error]

Ensuite, tu peux faire une division polynomiale:

Code: Tout sélectionner

x^4 + 2                  | x^3-3x^2+4
                         | x
...
x^4 + 2                  | x^3-3x^2+4
0   +3x^3    -4x + 2     | x
...
0   +3x^3    -4x + 2     | x^3-3x^2+4
0   +0 +9x^2 -4x -10     | x + 3



et tu déduis:
(x^4+2)/(x^3-3x^2+4) = x+3 + (9x^2-4x-10)/(x^3-3x^2+4)

Bien sûr tu peux tenter de checker pour quelques valeurs de x...
à gauche: ((x^4+2)/(x^3-3x^2+4)) en resp 0,1,3: 0.5,1.5,20.75
à droite: x+3 + (9x^2-4x-10)/(x^3-3x^2+4), on retrouve bien pareil

[lyceen95]

Doublon...