Décomposition d'un polynôme

[feliraf]

Bonjour ,je cherche la décomposition des polynômes suivant dans R et C :
(X^3-8) = ( X-2)(X²+2X+4) dans R
(X-2)(X+iRacine3+1)(X+(-iracine3)) dans C
(X^4+1) = (X²+1)(X²+1) dans R
(x+i)(x-i)(x+i)(x-i) dans C
(X^6+1) = (X²+1)(X^4-X²+1) dans R
(X+i)(X-i)(X+(1/2+iRacine 3/2))(X+(-1/2-iRacine 3/2))(X+(1/2-iRacine 3/2))(X+(-1/2+iRacine 3/2)) dans C
(X^12-1)=(X²-1)(X^4+X²+1)(X²+1)(X^4-X²+1) dans R mais je suis bloqué dans C , mais je suis pas sur pour le reste aussi .

Merci :)

[siger]

bonsoir

sauf erreur
(X^4+1) = (X²+1)(X²+1)
est faux

[Ben314]

Autre erreur (de nature différente) :
(X^6+1) = (X²+1)(X^4-X²+1) n'est surement pas la décomposition en facteurs irréductibles dans R vu que les seuls polynômes iréductibles sur R sont ceux du premier degré et ceux du second degré à discriminant strictement négatif.

Vu la tête des truc que tu as à factoriser, je pense que l'idée de l'exo, c'est de commencer par chercher les factorisations dans C puis d'en déduire les factorisations dans R (comment ?)
En effet, tout tes polynômes sont de la forme avec constant. Factoriser un polynôme dans C, ça revient à trouver ces racines (dans C évidement) et, dans ce cas, ça revient à chercher les racines n-ièmes du complexe .
Tu as forcément vu en cours comment faire (sinon on ne t'aurais pas donné un tel exercice...)

Résumé :
1) Chercher les 3 racines cubiques de 8 dans C.
2) Chercher les 4 racines quatrièmes de -1 dans C.
3) Chercher les 6 racines sixièmes de -1 dans C.
4) Chercher les 12 racines douxièmes de 1 dans C.

[feliraf]

Je vois ce que vous avez parlé , oui j'ai vu en cours mais justement j'ai pas compris comment on fait , vous pouvez m'expliqué avec l'exemple de x^6+1

[deltab]

Bonsoir

Je vois ce que vous avez parlé , oui j'ai vu en cours mais justement j'ai pas compris comment on fait , vous pouvez m'expliqué avec l'exemple de x^6+1

La formule du produit de deux nombres complexes et est plus simple si l'on écrit et sous forme exponentielle. Si et , alors

[deltab]

Bonsoir

Je vois ce que vous avez parlé , oui j'ai vu en cours mais justement j'ai pas compris comment on fait , vous pouvez m'expliqué avec l'exemple de x^6+1

La formule du produit de deux nombres complexes et est plus simple si l'on écrit et sous forme exponentielle.

Si et , alors .

Cette formule se généralise au cas d'un produit de n facteurs: .

On déduit que pour entier, .

Revenons aux équations de la forme . En écrivant sous forme exponentielle

où , on aura .


On donc et d'où et .

En prenant , on obtient les racines distinctes de l'équation ,

[Ben314]

Je vois ce que vous avez parlé , oui j'ai vu en cours mais justement j'ai pas compris comment on fait , vous pouvez m'expliqué avec l'exemple de x^6+1

Pour résoudre un truc du style , tu commence par écrire en coordonnées polaire, c'est à dire sous la forme (où est le module de et un argument). Pour un cas aussi simple (comme tout ceux de ton exo.), y'a aucun calcul à faire, juste un dessin.
Ensuite tu dit que le , en fait tu va le chercher sous forme polaire c'est à dire qu'au lieu de chercher le(s) complexe(s) qui marchent, tu va chercher le(s) réel(s) positif ainsi que le(s) réel(s) .
Tu récrit ton équation avec ces nouvelles données/inconnues et tu utilise le fait que deux complexes non nuls sont égaux ssi ils ont même module et même argument à 2k.pi prés (k dans Z).

A toi...

EDIT (ou à deltab... :lol3:)

[deltab]

J'ai oublié l'essentiel de l'exercice: la factorisation:
Dans C:
Comme ici a est réel, on obtient la factorisation dans R en regroupant les facteurs contenant les racines conjuguées.