Bonjour,
Voici un énoncé que je suis incapable de résoudre ! C'est la décomposition d'un polynôme mais je n'y arrive vraiment pas.
Voici l'énoncé :
Soit P un polynôme de R[X] défini par
P(X) = X^(2n) - 2 cos a X^(n) + 1
Question : Décomposer P dans R[X]
Merci d'avance de votre aide
Bonne année 2006 à tous
Florix
Décomposition d'un polynôme
6 messages
- Page 1 sur 1
par Chimerade » 31 Déc 2005, 17:39
Florix a écrit:Bonjour,
Voici un énoncé que je suis incapable de résoudre ! C'est la décomposition d'un polynôme mais je n'y arrive vraiment pas.
Voici l'énoncé :
Soit P un polynôme de R[X] défini par
P(X) = X^(2n) - 2 cos a X^(n) + 1
Question : Décomposer P dans R[X]
Merci d'avance de votre aide
Bonne année 2006 à tous
Florix
En posant
Donc :
Les solutions de P(X)=0 sont donc les racines n-ièmes de
Ces 2n racines sont 2 à 2 conjuguées ; donc en les regroupant par deux, tu dois pouvoir faire apparaître des trinômes à coefficients réels qui factoriseront P(X)...
par Florix » 01 Jan 2006, 17:28
Chimerade a écrit:En posant, il vient :
Donc :
Les solutions de P(X)=0 sont donc les racines n-ièmes de(que j'appellerai
, j=0 à n-1) et les racines n-ièmes de
(que j'appellerai
, j=0 à n-1), soit :
Ces 2n racines sont 2 à 2 conjuguées ; donc en les regroupant par deux, tu dois pouvoir faire apparaître des trinômes à coefficients réels qui factoriseront P(X)...
Merci beaucoup pour cette réponse, elle m'a permis d'avancer dans ma réflexion. Cependant, je ne toruve pas "les trinomes à coefficients réels qui factorisent P(X)", puisqu'ne fait avec les racines n-ièmes de l'unité, j'ai un polynome de la forme P(X) = (X-e^i(a/n)) (X-e^-i(a/n)) (X-....) ...... , polynome dans C[X] alros qu'il faut décomposer P(X) dans R[X]
Merci d'avance pour vos réponses
Florix
par Chimerade » 01 Jan 2006, 20:49
Si les solutions de P(x)=0 sont les n nombres :
})
pour j=0 à n-1
et les n nombres :
})
pour j=0 à n-1
alors P(x) peut s'écrire :
 = \prod_{j=0}^{n-1} (x-x_j) \times \prod_{j=0}^{n-1} (x-y_j))
 = \prod_{j=0}^{n-1} [(x-x_j) \times (x-y_j)])
 = \prod_{j=0}^{n-1} [x^2-x\times(x_j+y_j)+x_jy_j)])
Or :
 = e^{i(\frac{a}{n}+2j\frac{\pi}{n})}+e^{-i(\frac{a}{n}+2j\frac{\pi}{n})} = 2cos(\frac{a}{n}+2j\frac{\pi}{n}))
et par ailleurs,
}\times e^{-i(\frac{a}{n}+2j\frac{\pi}{n})} = 1)
Donc :
 = \prod_{j=0}^{n-1} [x^2-2x\times(cos(\frac{a}{n}+2j\frac{\pi}{n}))+1)])
C'est bien un produit de trinômes à coefficients réels !
et les n nombres :
alors P(x) peut s'écrire :
Or :
et par ailleurs,
Donc :
C'est bien un produit de trinômes à coefficients réels !
par Florix » 01 Jan 2006, 21:07
Merci beaucoup Chimerade c'est très gentil de ta part !
J'ai pas tout compris à ton raisonnement mais je verrais ça plus tard !
En tout cas merci bcp !
J'ai pas tout compris à ton raisonnement mais je verrais ça plus tard !
En tout cas merci bcp !
6 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 56 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :