Décomposition éléments simples

par **Babe** » 24 Mar 2007, 17:21

Bonjour,

J'ai une decomposition en élément simple a faire sur R:

notre prof passe par C et reviens dans R
1)Comment fait -il a partir des racine complexes pour repasser dans R ?

Dans un livre, j'ai vu qu'il factorise

par

2) Quel ruse est utilisé pour factorisé comme cela

alors que les racines sont complexes ?

merci d'avance

par **mathelot** » 24 Mar 2007, 18:03

ressemble à

qui est un carré parfait.
d'où:

et après, c'est fini.

Autre méthode:

sinon le thm de d'Alembert indique que tout polynome
se factorise dans R comme un produit de trinomes.
donc on peut chercher

sous la forme d'un produit

Comme

est pair et la décomposition est unique,
la paire de coeff

est la même que la paire

d'où a=-c parce que a est nécessairement non nul.
On est donc ramené à chercher

sous la forme

sous la forme d'un produit

ce qui est faisable.

comme a est non nul, on obtient le résultat.

par **Babe** » 24 Mar 2007, 18:15

a ok et tu identifie pour trouver a , -a, b et d ?

par **mathelot** » 24 Mar 2007, 18:19

Babe a écrit:a ok et tu identifie pour trouver a , c etc.... ?

oui, regarde la fin du post précédent.

par **Babe** » 24 Mar 2007, 18:21

et ca marche pour tout les polynome ?
par exemple

se decompose comme en

?

par **mathelot** » 24 Mar 2007, 18:22

Babe a écrit:a ok et tu identifie pour trouver a , -a, b et d ?

Qu'écris-tu ? si on trouve a , on a immédiatement -a qui est son opposé :cry:

par **mathelot** » 24 Mar 2007, 18:24

Babe a écrit:et ca marche pour tout les polynome ?
par exemple se decompose comme en ?

oui , pour les polynomes de degré 4. ça donne une équation du troisième degré que l'on résoud par la méthode de jérome Cardan.

par **Babe** » 24 Mar 2007, 18:24

ouai j'ai marqué a, - a etc.. mais j'ai compris , ne pleure pas lol
sinon pr le passage de C a R a tu une explication ?

par **mathelot** » 24 Mar 2007, 18:34

j'en reviens à la factorisation du polynome

par une troisième méthode:
L'équation

qui est l'équation aux racines du polynome a une racine évidente car

:

. Les autres racines sont donc

qui sont donc

et donc

.
car

par **mathelot** » 24 Mar 2007, 18:43

euh, voilà, pour la factorisation de C à R, on décompose dans C qui est
algébriquement clos :zen: puis on regroupe deux à deux les facteurs
avec des racines conjuguées, ce qui donne des trinomes à coefficients réels.

par **allomomo** » 24 Mar 2007, 23:29

Salut,

D'autres exercices du même type si tu veux t'enrainer ... Ici
Voir intégration, décomposition en éléments simples.

par **Babe** » 25 Mar 2007, 16:17

mathelot a écrit:j'en reviens à la factorisation du polynome
par une troisième méthode:
L'équation qui est l'équation aux racines du polynome a une racine évidente car :
. Les autres racines sont donc qui sont donc
et donc .
car

J'en revais...mathelot l'a fait !!!!
Merci beaucoup :zen: :zen:

en faite j'arrivais a ces racines

et ne voyait pas comment continuer

encore merci

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