Décomposition en éléments simples

[ArtyB]

Bonjour,

Une petite décomposition en éléments simples qui me cause des tracas:


J'ai fait:

Je multiplie par des deux côtés en j'observe le résultat en X=0, on a:

soit

Ensuite je reprends mon égalité de départ et je multiple par des deux côtés et j'observe le résultat en X=-1, on a:

soit


Et maintenant que faire ?

[Ben314]

Salut,
En dernier recours (i.e. si pas d'autres idées) tout développer et identifier.

Sinon,

- Tu peut regarder ce qui se passe en multipliant par un X^? bien choisi (ici X) et faire X->oo (calcul souvent très simple et ça fait une équation de plus).

- Tu peut prendre un X pas trop compliqué (par exemple ici X=1) et évaluer les deux termes -> une équation de plus.

- Lorsque tu as des puissances dans les numérateurs, comme ici, après avoir multiplié par (X-a)^n, tu peut non seulement regarder la valeur en X=a, mais même le D.L. à l'ordre n-1.
Par exemple, ici, en multipliant par X², on voit que, b+aX est le D.L. à l'ordre 1 de (2X+1)/(X+1)²=(1+2X)(1+X)^-2=(1+2X)(1-2X)+o(X) donc b=1 et a=-4.

- Tu multiplie tout par le dénominateur, sans développer à droite ce qui te fait puis, non seulement tu prend X=0 et X=1, mais aussi, tu dérive la relation puis tu prend X=0 et X=1 (ça marche bien du fait que la dérivée de (X-a)^n vaudra encore 0 lorsque X=a si n>=2)


Après, a toi de voir ce que tu préfère (et/ou quel est le plus rapide)

[Ben314]

Salut,
En dernier recours (i.e. si pas d'autres idées) tout développer et identifier.

Sinon,

- Tu peut regarder ce qui se passe en multipliant par un X^? bien choisi (ici X) et faire X->oo (calcul souvent très simple et ça fait une équation de plus).
Voire mieux, regarder les équivalents en +oo des deux termes (ici, ça te donne immédiatement le résultat)

- Tu peut prendre un X pas trop compliqué (par exemple ici X=1) et évaluer les deux termes -> une équation de plus.

- Lorsque tu as des puissances dans les numérateurs, comme ici, après avoir multiplié par (X-a)^n, tu peut non seulement regarder la valeur en X=a, mais même le D.L. à l'ordre n-1.
Par exemple, ici, en multipliant par X², on voit que, b+aX est le D.L. à l'ordre 1 de (2X+1)/(X+1)²=(1+2X)(1+X)^-2=(1+2X)(1-2X)+o(X) donc b=1 et a=0.

- Tu multiplie tout par le dénominateur, sans développer à droite ce qui te fait puis, non seulement tu prend X=0 et X=1, mais aussi, tu dérive la relation puis tu prend X=0 et X=1 (ça marche bien du fait que la dérivée de (X-a)^n vaudra encore 0 lorsque X=a si n>=2).
Ici, en dérivant puis en prenant X=0, ça donne 2=a+2b et, en dérivant puis en prenant X=-1, ça donne 2=c-2(d-c)


Après, a toi de voir ce que tu préfère (et/ou quel est le plus rapide)

[Ben314]

Salut,
En dernier recours (i.e. si pas d'autres idées) tout développer et identifier.

Sinon,

- Tu peut regarder ce qui se passe en multipliant par un X^? bien choisi (ici X) et faire X->oo (calcul souvent très simple et ça fait une équation de plus).
Voire mieux, regarder les équivalents en +oo des deux termes (ici, ça te donne immédiatement le résultat)

- Tu peut prendre un X pas trop compliqué (par exemple ici X=1) et évaluer les deux termes -> une équation de plus.

- Lorsque tu as des puissances dans les numérateurs, comme ici, après avoir multiplié par (X-a)^n, tu peut non seulement regarder la valeur en X=a, mais même le D.L. à l'ordre n-1.
Par exemple, ici, en multipliant par X², on voit que, b+aX est le D.L. à l'ordre 1 de (2X+1)/(X+1)²=(1+2X)(1+X)^-2=(1+2X)(1-2X)+o(X) donc b=1 et a=0.

- Tu multiplie tout par le dénominateur, sans développer à droite ce qui te fait puis, non seulement tu prend X=0 et X=1, mais aussi, tu dérive la relation puis tu prend X=0 et X=1 (ça marche bien du fait que la dérivée de (X-a)^n vaudra encore 0 lorsque X=a si n>=2).
Ici, en dérivant puis en prenant X=0, ça donne 2=a+2b et, en dérivant puis en prenant X=-1, ça donne 2=c-2(d-c)


Après, a toi de voir ce que tu préfère (et/ou quel est le plus rapide)

[ArtyB]

Merci beaucoup de ta réponse !
Ca fait beaucoup de méthodes en fait, il n'y en a pas une précise qui marche à tous les coups donc ? Faut tâtonner ?

"Tu peut regarder ce qui se passe en multipliant par un X^? bien choisi (ici X) et faire X->oo (calcul souvent très simple et ça fait une équation de plus).
Voire mieux, regarder les équivalents en +oo des deux termes (ici, ça te donne immédiatement le résultat)"
---> Ici quand je multiplie par X chaque membre de l'équation et que je regarde la limite en +oo, j'obtiens juste a=0 c'est bien ça ?

"- Tu peut prendre un X pas trop compliqué (par exemple ici X=1) et évaluer les deux termes -> une équation de plus."
---> Ici en X=1, à gauche j'ai 3/4 et à droite j'ai , sachant que l'on a a=0 et b=1, j'ai
soit or selon ce que j'ai trouvé avant j'ai aussi: soit

[Ben314]

En math., il y a systématiquement des tonnes de méthodes pour résoudre un même problème et, en fonction du contexte, certaine sont plus rapides que d'autres.

Si tu veut un truc très con qui "marche a tout les coups", ben c'est le développement complet et l'identification des termes. C'est de loin le plus "bourrin" : très long en calculs (donc forte proba. d'erreur) en en temps.
En résumé, ça marche et... c'est à éviter comme la peste...

Sinon, je ne dirais pas qu'il faut "tâtonner", mais plutôt qu'il faut s'entrainer à les utiliser a peu prés toutes pour voir dans quels circonstances certaines sont meilleures que d'autres : tu peut par exemple essayer sur cette exemple d'appliquer un peu tout pour voir ce que ça donne en terme de temps/calculs pour conclure.

[Pisigma]

Bonjour,

Une petite décomposition en éléments simples qui me cause des tracas:


J'ai fait:

Je multiplie par des deux côtés en j'observe le résultat en X=0, on a:

soit

Ensuite je reprends mon égalité de départ et je multiple par des deux côtés et j'observe le résultat en X=-1, on a:

soit


Et maintenant que faire ?

Dans le cas particulier qui te concerne, on peut remarquer que

donc

[ArtyB]

Ben314:
D'accord, merci beaucoup, je vais en faire et en refaire alors histoire de m'habituer à chaque méthode

Pisigma:
J'aime pas les "on remarque" même si ça fait gagner beaucoup de temps etc parce que j'ai du mal à remarquer (ça viendra à force je suppose)

[zygomatique]

salut

les "on remarque" sont le fruit de l'expérience et du savoir ... acquis par la répétition ...

les différentes options proposées par Ben314 sont le fruit de l'expérience et du savoir ... acquis par la répétition ...

une grande maxime de mon (regretté) prof de math du lycée :: "qui peut le plus peut le moins" ...

pour traduire l'une des options proposées :: si c'est vrai pour tout x alors c'est vrai pour certains x

...