Décomposition en éléments simples

[ArtyB]

Bonjour,

Soit la fonction f suivante, je cherche à la décomposer en partie réelle et éléments simples dans R puis dans C



On remarque que le dénominateur se factorise:
On égalise le dénominateur à 0 et on trouve les solutions suivantes:
Dans R: S={1}
Dans C: S={i, -i, 1}

f est une fraction de polynômes et peut s'écrire sous forme d'une partie entière et d'un reste:



Décomposition dans R:

Pour trouver a on multiplie l'ensemble de l'égalité par (x-1) et on regarde en x=1, on trouve a=1
En revanche pour trouver b comment fait on ?

Décomposition dans C:

On multiplie l'ensemble de l'égalité par (x-1) et on regarde en x=1, on trouve a=1
On multiplie l'ensemble de l'égalité par (x-i) et on regarde en x=i, on trouve
On multiplie l'ensemble de l'égalité par (x+i) et on regarde en x=-i, on trouve
Est-ce bien comme cela qu'il faut faire ?

[ampholyte]

Bonjour,

Tu es bien parti mais il fallait poursuivre. Pour pouvoir effectuer une décomposition en élément simple, il faut que le degré du numérateur soit inférieur au degré du dénominateur.

On peut donc pousser la décomposition en :



Ensuite, on travaille avec la dernière fraction :



Pour le calcul de b et c, tu peux utiliser la décomposition dans C mais il est plus rapide d'utiliser la méthode des limites.

[ArtyB]

Ah je n'avais pas vu cette simplification là !
Vous écrivez:

Mais n'est-ce pas plutôt:
?

De plus comment faire pour trouver b et c dans R puisque dans R

[chan79]

f(x) = x^2 + x + \frac{x^2 + x}{x^3 - x^2 + x - 1}[/tex]

salut
je corrige une petite étourderie

[ampholyte]

Merci pour la coquille, j'ai corrigé.

Ensuite pour calculer b, tu peux utiliser la limite en +oo :



On multiplie par (x - 1)



Qu'est-ce que cela te donne si tu prends la limite en +oo ?

Il te suffit de prendre une valeur particulière pour trouver c (une fois que tu as trouvé b avec la méthode des limites).

[ArtyB]

On a le membre de gauche =1 et a= 1 donc

Et je dois prendre la limite de ça en ? Je ne comprends pas trop ce que vous voulez faire avec une limite en , à quoi cela peut il servir ?

[ampholyte]

Il faut procéder étape par étape :







Donc quand x tend vers +oo on a l'équation :



Or tu as calculé a précédemment donc tu en déduis b.

[chan79]

Ah je n'avais pas vu cette simplification là !
Vous écrivez:

Mais n'est-ce pas plutôt:
?

De plus comment faire pour trouver b et c dans R puisque dans R

En multipliant par (x-1) et avec la limite quand x tend vers +inf
a+b=1
en remplaçant x par 0 puis par -1
0=-a+c
0=-a-b+c (après avoir multiplié les deux membres par 2)
Avec ces trois égalités, le résultat est immédiat

[Ben314]

Salut,
Juste une question : pourquoi est-ce que tu multiplie par (x-1) avant de regarder la limite en +oo (et pas simplement par x) ?

[ampholyte]

Salut,
Juste une question : pourquoi est-ce que tu multiplie par (x-1) avant de regarder la limite en +oo (et pas simplement par x) ?

Aucun interêt mis à part "pour simplifier la fraction" si on a des difficultés avec les calculs de limite mais c'est vrai que la multiplication par x est largement suffisante :we: .

[ArtyB]

ampholyte:
Euh il faut que je comprenne comment on trouve cette limite:

EDIT: c'est trop facile je suis juste idiot.
Mais sinon du coup on a b=0 et pour obtenir c comment fait on ensuite ?

chan79:
"en remplaçant x par 0 puis par -1" En remplaçant dans quoi ? Et pourquoi ? D'où est-ce que ça vient ?

[ampholyte]

Pour avoir c, il te suffit de prendre une valeur particulière.

Pour x = 0 on a donc :

[ArtyB]

Si je résume pour la décomposition en éléments simples dans R:
On trouve a en multipliant par (x-1) et en regardant en x=1
On trouve b en multipliant par (x-1) et en regardant la limite en
On a a=1 et b=0
On trouve c en remplaçant x par 0 dans l'expression suivante:


on trouve c=1
Cela suffit il ?
Pourquoi remplacer x par 0 et non pas par un autre nombre, d'où vous est venue l'idée du zéro ?

Concernant la décomposition en éléments simples dans C j'avais bon ?

[ampholyte]

Car pour x = 0 on annule pas mal de terme sans annuler le dénominateur.

Normalement cela te suffit pour ta décomposition en facteur premier dans R.

Pour la décomposition dans C, c'est exactement que tu l'as expliqué dans ton premier post, il faut juste reprendre le calcul puisque tu as oublié de simplifier le plus possible la fraction (degré numérateur doit être strictement inférieur au dénominateur).

[ArtyB]

Ah oui c'est vrai, merci beaucoup, dans C je trouve
a=1



Et si ensuite je souhaite calculer en quoi cela peut il m'être utile ?

[ampholyte]

Je ne vois pas trop l'interêt d'avoir décomposer dans C mais bon passons.

La décomposition en élément simple te permet de facilement intégrer chaque terme.

Quelle est la primitive de 1/(x - 1) ?

Quelle est la primitive de 1/(x² + 1) ?

[ArtyB]

J'ai décomposé dans C parce que c'était demandé haha et que l'on a le qui tout d'un coup s'annule contrairement à dans R.
Pour les primitives, on a:
ln( 1/(x - 1))'= 1/(x - 1)
arctan(x)'=1/(x² + 1)
du coup on fait la somme des intégrales des éléments semples ?

[zygomatique]

salut

pour poursuivre sur la méthode d'ampholyte ::



:lol3:

[ampholyte]

J'ai décomposé dans C parce que c'était demandé haha et que l'on a le qui tout d'un coup s'annule contrairement à dans R.
Pour les primitives, on a:
ln( 1/(x - 1))'= 1/(x - 1)
arctan(x)'=1/(x² + 1)
du coup on fait la somme des intégrales des éléments semples ?

Comme te le rappelle zygomatique tu sais que f(x) s'exprime donc sous la forme :



Donc :

[zygomatique]

il n'est pas utile de séparer !!! et en particulier x^2 et 1 ....