Décomposition en éléments simples

[ArtyB]

Bonjour,

Concernant la décomposition complexe je crois à peur prés avoir compris comment cela fonctionnait mais j'ai encore quelques doutes.
Si l'on décompose en éléments simples dans |R la fraction rationnelle T suivante: T=1/(1+X^3)
On remarque que T peut s'écrire: 1/[(X+1)(X²-X-1)]=a/(X-1) +b/(X-(1+V5)/2) +c/(X-(1-V5)/2)
Car les pôles sont: -1, (1+V5)/2 et (1-V5)/2
Et après je ne sais pas comment procéder. Normalement il faut multiplier par (X-1) toute l'expression et remplace X par le pôle (-1) ce qui permet de trouver a puis faire de même pour chaque membre pour trouver b et c.
C'est bien ça ?

[ampholyte]

Bonjour,

Ne serait-ce pas plutôt :



avec x1 et x2 les racines de x² - x + 1.

Pour l'exemple on va calculer a. Comme tu l'as bien compris, on multiplie par le dénominateur de a l'ensemble de l'expression.



On remplace x par -1 pour annuler les termes en b et c



On procède de la même manière pour b (donc en multipliant par x - x1 et remplaçant x par x1)

On procède de la même manière pour c (donc en multipliant par x - x2 et remplaçant x par x2)

[chan79]

avec x1 et x2 les racines de x² - x + 1.

Salut
Juste une petite correction de signe

[ArtyB]

Mais du coup x1 et x2 sont des racines complexes et je dois résoudre ça dans R comment faire alors ?

[fibonacci]

Bonjour,


donc on arrête

[ArtyB]

Comment ça on s'arrête ?
J'ai trouvé un exemple ou en fait le second membre est de la forme
(bX+c)/(X^2 -X+1) et en effet après ça marche on trouve a b et c et ça donne bien 1/(X^3+1)

[chan79]

Comment ça on s'arrête ?
J'ai trouvé un exemple ou en fait le second membre est de la forme
(bX+c)/(X^2 -X+1) et en effet après ça marche on trouve a b et c et ça donne bien 1/(X^3+1)

salut
Si tu décompose dans , ampholyte t'a donné la méthode

les racines de sont

et


tu as


tu multiplies les deux membres par , tu simplifies et tu remplaces par -1
tu trouves =1/3
tu multiplies les deux membres par , tu simplifies et tu remplaces par
tu trouves

tu multiplies les deux membres par , tu simplifies et tu remplaces par
tu trouves

[mathelot]

bjr,

dans C



de racines où et


posons

on a

[ArtyB]

Oui j'ai bien compris sauf que je décompose dans R et non dans C.
Du coup on a:
1/(X^3+1)=a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1) (1)
On multiple tout (1) par (X+1) et on regarde en X=-1 on trouve a=1/3
Puis on regarde (1) en 0 on a 1=a+c d'où c=2/3
Et enfin on multiplie (1) par X et on regarde la limite en +infini et on trouve b=-1/3 non ?

[Robic]

Oui j'ai bien compris sauf que je décompose dans R et non dans C.

Même si tu décomposes dans R, il peut être intéressant d'écrire d'abord la décomposition dans C, puis de fusionner les deux fractions correspondant aux deux racines conjuguées. C'est une méthode parmi d'autres, mais c'était pour dire qu'il n'est pas interdit de s'intéresser à la décomposition dans C.

[ampholyte]

Bonjour,

Si tu veux rester dans R, cela devient assez simple.



Une fois que tu as trouvé "a". Il te suffit de prendre x = 0, tu pourras alors calculer "c". Il te suffira de prendre par exemple x = 1 pour calculer "b" rapidement.

Pour x = 0 :


Pour x = 1 :

[chan79]

Oui j'ai bien compris sauf que je décompose dans R et non dans C.
Du coup on a:
1/(X^3+1)=a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1) (1)
On multiple tout (1) par (X+1) et on regarde en X=-1 on trouve a=1/3
Puis on regarde (1) en 0 on a 1=a+c d'où c=2/3
Et enfin on multiplie (1) par X et on regarde la limite en +infini et on trouve b=-1/3 non ?

Au début du post, tu parlais de décomposition complexe...
Dans , tu cherches a, b et c tels que:



Puisqu'elle a été faite, tu pourrais utiliser la décomposition complexe en ajoutant les deux derniers termes.
Sinon,
Tu multiplies tout par x+1, tu simplifies et tu remplaces x par -1.
Tu as: a=1/3
Tu remplaces x par 0 et tu as: 1=a+c donc c=2/3
Tu multiplies tout par x, que tu fais tendre vers et tu as a+b=0 donc b=-1/3

[ArtyB]

Au temps pour moi, je voulais dire "décomposition en éléments simples", j'avais dit dans R mais j'avais dit "décomposition complexe" ce qui du coup n'a pas de sens. Mea Culpa
Et merci à vous !

Et du coup si ensuite on veut faire l'intégrale entre 0 et 1 de 1/(1+X^3) on utilise cette decomposition pour obtenir deux intégrales, l'une se calcule facilement mais l'autre est de la forme (2-X)/(X²-X+1) et ça comment l'intégrer ?

[Robic]

Les intégrales avec au dénominateur un trinôme irréductible se calculent avec une technique précise que l'on doit présenter d'abord en cours, car c'est assez long à expliquer. Tu ne l'as pas vu ? L'exemple typique est x²+x+1. En gros il faut faire apparaître une fraction du type qui est du type , ou bien une fraction du type qui se calculera avec l'arc tangente, ou (le plus souvent) les deux.

[ArtyB]

Ah il me semble avoir aperçu sur le net un exercice avec l'arctan en effet !
Du coup ça donnerait ça:

https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/hphotos-ak-xpf1/v/t34.0-12/10386353_10203816853089539_3530788092656535315_n.jpg?oh=e8def83b13089e8349ad49542e6acf2b&oe=550CCFE0&__gda__=1426917071_33e7c5d368109712289bd11e9b50767c

[Robic]

Je n'ai pas envie de corriger ta copie (la corvée ! :lol3: ) mais je vais t'indiquer une méthode de contrôle du résultat assez rapide (il faut toujours contrôler ses résultats !)

Tu trouves ~0,771. Est-ce plausible ?

La fonction à intégrer est positive (juste cette remarque peut aider, parfois, à détercter une erreur de signe, pense à la faire !). Elle vaut 1 en 0 et 1/2 en 1, de plus le sens de variation ne change pas (c'est l'inverse de x^3+1 bien connue). J'ai fait un petit dessin, on voit immédiatement que l'intégrale est forcément comprise entre 1/2 et 1. Si c'était un segment, ça ferait pile 0,75. Est-elle convexe ou concave ? En 1/2 elle vaut 0,888... donc l'intégrale doit valoir un peu plus de 0,75. (En fait elle est concave jusque puis redevient convexe, mais pas besoin de chipoter...)

Bon, c'est juste une vérification rapide qui ne prouve rien.