Décomposition en éléments simples

[chombier]

Je suis distrait aujourd'hui, j'ai fait plusieurs erreurs de recopie... Par contre, en 4, je trouve -1/4. Je pense que c'est juste puisque ça redonne les bons coefficients.

Exact. J'ai merdé sur la 4ème étape. Eh ben j'espère ne pas tomber sur un truc comme ça. Tellement de sources d'erreur possibles.
Et dire qu'après il faut faire du pivot de Gauß

[zygomatique]

salut

Je suppose que tu as appliqué, dans cet ordre, les méthodes suivantes :
1. Tout multiplier par (t-1)² pour isoler b en posant t = 1 (b = 1/3).
2. Tout multiplier par (t-1) puis regarder la limite quand t tend vers l'infini (a + c = 0).
3. Faire t=0 (a - b + d = 0). (Erratum : j'ai mal recopié ma feuille, c'est -a + b + d = 0.)
4. Faire t=1 (-a/2 + b/4 - c + d = 0). (Erratum : c'était pour t = -1 bien sûr, et ça donne -a/2 + b/4 - c + d = -1/4, décidément...)

En remplaçant a par -c et b par 1/3 dans les égalités 3 et 4, on obtient :
3 c + d = -1/3
4 -c/2 + d = -1/3
donc c = 0, a = 0 et d = -1/3.

Comme dit plus haut, l'autre méthode consiste, toujours dans la partie 1, à tout multiplier par (1 + t + t²) puis à poser t = j. Je pense que même si les calculs sont assez longs, au final on y gagne.

Mais à condition de manipuler les j avec leurs formules, sans utiliser l'expression (-1+i\sqrt{3})/2 (erreur à ne surtout pas commettre !).

Voici le calcul sans aide de la calculatrice mais en utilisant les méthodes de calcul usuelles . Il se base sur la relation j² + j + 1 = 0 donc j² = -j - 1 (important !).

je plussoie évidemment à ces propos ....

cependant cette égalité est vraie pour tout réel différent de 1 et tout complexe différent de j et son carré ....

mais les complexes ont l'avantage d'avoir une partie réelle et une partie imaginaire !!!

et deux complexes égaux ont même écriture algébrique !!!!


donc plutôt que de considérer le complexe j je préfère considérer le complexes i (avec comme le dit Robic sa propriété qui conduit à ce que est un imaginaire pur et vu l'égalité ...

donc avec t = i et après avoir fait les points 1/ et 2/ au dessus ::



qui donne immédiatement a = 0 et -6d = 2 d = -1/3



ne pas se fixer forcément sur les racines ...

ce qui est valable pour tout est valable pour certain .... tout le pb est le choix de ces "certains"

ici certains ont choisi les certains 0 et -1 .... et j .... je choisis i !!!

:lol3:

[Robic]

Et dire qu'après il faut faire du pivot de Gauß

Surtout pas malheureux !

Tu as obtenu :
(1) b = 1/3
(2) c = -a
(3) -a + b + d = 0
(4) -a/2 + b/4 -c + d = -1/4

Première chose : tu remplaces b par 1/3 et c par -a dans (3) et (4) :
(3) c + d = -1/3
(4) -c/2 + d = -1/3
Voilà le système à résoudre. Ici, il est immédiat que c=0 (sinon faire (3) - (4), qui s'impose.)

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Zygomatique : je n'y avais pas pensé mais tu es très convaincant et je crois que tu as exposé la meilleure méthode (au sens où je l'entends...)

[chombier]

Merci à tous, je m'entraine intensément et vos idées m'ont bien servi.

Voici ma dernière bête noire : , à décomposer dans C

Voilà où j'en suis :



Reste à déterminer les coefficients complexes a, b, c et d, qui sont censés exister et être unique !! On y croit !!!

En multipliant par (X-i)^2 et en évaluant en X=i, j'ai trouvé

En multipliant par (X+i)^2 et en évaluant en X=-i, j'ai trouvé

Jusque là je suis A PEU PRES sur de mon coup, donc



Je ne vous met pas le reste, c'est très moche, mais juste la méthode que j'ai voulu mettre en oeuvre :

En évaluant en 0 puis en 2i, et en utilisant le fait que b=d=-1, je dois trouver deux équations en a et c, et ainsi trouver a et c.

J'ai trouve en 0 : , et en 2i : , mais ça ne me donne rien de bon.

Ah si, ça y est, j'ai trouvé, a=-i et c=i

Mais quelle horreur, j'ai du passer 3 heures dessus, et avec l'aide de la calculatrice encore.

PS : j'ai aussi essayé de bourriner en mettant tout au même dénominateur et en identifiant. Ca marche et c'est presque moins de boulot (c'est plus automatique), mais le risque de glisser une erreur quelque part est toujours aussi élevé.

[mathelot]

bjr,

a et c sont conjugués, de même pour b et d.

en multipliant par x et limite en l'infini
donc ce sont des imaginaires (purs)

on calcule b et d aisémment
en multipliant par puis (resp. puis )

ensuite en X=0 on peut calculer a-c

J'ai trouve en 0 : , et en 2i : , mais ça ne me donne rien de bon.
!

c'est un système 2x2 d'inconnues a et c

[chombier]

bjr,

a et c sont conjugués, de même pour b et d.

alors ça, je suis intéressé, comment cela se justifie-t-il ?

en multipliant par x et limite en l'infini
donc ce sont des imaginaires (purs)

Je n'y ai pas pensé... Il faut toujours essayer de multiplier par X un coup, et de le faire tendre vers plus l'infini pour sortir une équation, en fait ?

on calcule b et d aisément
en multipliant par puis (resp. puis )

ensuite en X=0 on peut calculer a-c

Merci

[mathelot]

alors ça, je suis intéressé, comment cela se justifie-t-il ?

unicité de la décomposition en éléments simples / on a deux écritures
quand on conjugue. d'où une relation.

[zygomatique]

salut

plus précisément ::

f est à coefficients réels donc pour x réel tu as

or

et la conjugaison transformant en pour x réel

tu en déduis que a et c sont conjugués et que b et d sont conjugués


et pour tout complexe c'est pourquoi si on essaie i et -i il faut utiliser cette relation ....

J'ai trouve en 0 : a-c = -2i, et en 2i : 3a+c = -2i, mais ça ne me donne rien de bon.

étonnant :: il suffit d'ajouter les deux pour avoir a ... donc c ...

:lol3:

[chombier]

salut

plus précisément ::

f est à coefficients réels donc pour x réel tu as

or

et la conjugaison transformant en pour x réel

tu en déduis que a et c sont conjugués et que b et d sont conjugués

Je ne sais pas si j'y penserait, mais c'est joli !

et pour tout complexe c'est pourquoi si on essaie i et -i il faut utiliser cette relation ....



étonnant :: il suffit d'ajouter les deux pour avoir a ... donc c ...

:lol3:

Quand je dis "ça ne donne rien de bon", je sous entendais que je pensais que mes équations étaient fausses, sinon un système linéaire à deux inconnues, je sais faire (même s'il m'arrive encore de me tromper).

Enfait j'ai fini par y arriver... mais je suis avide d'astuces pour éviter des calculs répétitifs et source d'erreur :lol3:

[zygomatique]

mais je suis avide d'astuces pour éviter des calculs répétitifs et source d'erreur

ça c'est le fruit de l'expérience personnelle, c'est à dire la pratique personnelle des mathématiques (avec parfois un coup de main ou de pied suivant qu'on dise une grosse c... ou pas :ptdr: )

mais attention les astuces n'évitent cependant pas les erreurs ... elles offrent cependant des résolution plus esthétiques de problèmes et souvent permettent de gagner du temps

:lol3:

[fibonacci]

Bonjour;