Décomposition en éléments simples

[paco184]

Bonjour!

J'ai quelques soucis concernant la décomposition en élément simple dans l'ensemble des complexes.
Je m'explique; mon polycopie indique trois types de décomposition qui dépendent de la racine du dénominateur:

-Si la racine est dans l'ensemble des réels om décompose l'élément comme ceci:

A/(x-a)^k , avec a est une racine du dénominateur et A un coefficient que l'on cherchera par la suite
(Jusqu'là aucun souci)

-Si la racine est dans l'ensemble des complexes on décompose l'élénement comme ceci:

a) B(x-r)/((x-r)^2+c^2)^k, avec r et c les coef appartenant à R de la racine complexe z tel que z= r+ c*i;

Ou

b) B/((x-r)^2+c^2)^k. Remarquez que seul le numérateur change comparé au type a)


Voilà malgré les exemples de mon polycopie, je ne trouve pas comment choisir entre le type a) et b). Est-ce que quelqu'un peux m'aider.

Merci d'avance!

[Ben314]

Salut,
Normalement, au départ, quand on te demande une "décomposition en élément simples", c'est qu'on te donne une fraction rationnelle (i.e. le quotient de deux polynômes à coeff réels vu ce que tu envisage de faire ensuite).
Ensuite, la première étape (que dans le cas général on ne sait pas faire mais qui est normalement faisable dans les exos proposés...), c'est de factoriser le polynôme Q à priori sur R, mais on est souvent amené à le décomposer sur C pour avoir la décomposition sur R.
La décomposition sur C ne doit contenir que des facteurs du premier degrés X-a (car C est algébriquement clos), mais la décomposition sur R contient des facteurs du premier degré ET des facteurs du second degré à discriminant <0 (donc non factorisable dans R.
Les facteurs du premier degrés "produisent" des éléments simple du type A/ et ceux du second degré des éléments du type B/a) et des élément du type B/b) : donc tu n'a pas à "choisir" : il y a en général des deux (ou alors c'est que le prof est particulièrement sympa. dans les exos qu'il donne...)

Comme toujours, pour bien comprendre comment ça marche, le mieux c'est... de faire quelques exos...

[paco184]

Merci pour ta réponse!

Ok, donc si je comprends bien, pour chaque élément donné par une racine complexe, il y aura 1 type B/a et un type B/b

Comme par exemple; P(x)/((x-i)*(x+i)) pourrait se décomposer en

A/(x^2+(-1)^2) + B(x-0)/(x^2+(-1)^2) + C/(x^2+1) + D(x)/(x^2+1) ??

[Ben314]

Ton C et ton D ne servent pas à grand chose (rappel : (-1)²=1...) par contre, il y a de forte chance que tu ait à la fois "du A" et "du B".
Attention à ne pas oublier aussi, si ton polynôme de départ est de degré supérieur ou égal à 2 (le degré du dénominateur) de commencer par faire la division euclidienne de P par X²+1.