Décomposition en éléments simples

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doako
Messages: 5
Enregistré le: 26 Aoû 2013, 20:58

Décomposition en éléments simples

par doako » 28 Aoû 2013, 19:55

Bonjour , lors de calculs d'intégrales je suis bloqué sur certaines à chaque fois que j'arrive à l'intégrale d'un quotient de polynômes. J'ai recherché un peu et j'ai vu qu'il fallait faire une division euclidienne puis une décomposition en élément simple.

Dans mon cas je pense que la division euclidienne n'est pas necessaire car le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur.

L'ennui c'est que j'ai du degré 2 au numérateur et 4 au dénominateur, il me semble qu'il n'y a pas de racine commune mais je n'arrive pas à factoriser le degré 4 et je crois que c'est nécessaire pour la des.

J'ai exactement du (1-t^2)/(-3t^4+8t^3+3).

Donc, est ce que je suis la bonne méthode et comment dois-je m'y prendre pour réussir à décomposer cela en élément simple?

merci de votre aide.



Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13818
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 28 Aoû 2013, 20:00

Salut,

tu peux au pire des cas utiliser une valeur approchée des racines, s'il s'agit d'estimer l'intégrale et non de calculer une primitive alors ce n'est pas trop grave de ne pas avoir de valeur exacte.

Au pire des cas, on sait résoudre les équations de degré 4 (voir méthode de Ferrari sur google) mais encore une fois l'intérêt reste limité si c'est pour un simple calcul d'intégrale.

deltab
Membre Rationnel
Messages: 806
Enregistré le: 18 Juin 2013, 10:12

par deltab » 29 Aoû 2013, 02:15

Bonjour

doako a écrit:
Dans mon cas je pense que la division euclidienne n'est pas necessaire car le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur.


Dans ton cas, effectivement OUI car car le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. (faute d'inattention ?).
On fait la division euclidienne quand le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur

La décomposition en élément simples n'est en général pas indiquée pour la recherche de primitives, elle nécessite qu'on puisse le décomposer le dénominateur en produits de facteurs de degré au plus 2. Des les exercices qu'on donne habituellement, le dénominateur est déjà factorisé ou sa factorisation ne pose pas énormément de problèmes (racines évidentes,...), le calcul est alors faisable mais fastidieux. Dans les autres cas, il faudra opter pour d'autres méthodes (changement de variables, IPP, ....).

 

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