Décomposition en éléments simples. Méthode juste ?

[Trident]

Bonjour, je viens de lire une méthode sur wikipedia sur les décompositions en éléments simples.
Je ne pense pas qu'elle soit juste bien qu'elle semble efficace à utiliser mais je voudrais avoir une confirmation.

Décomposons en éléments simples la fonction rationnelle :


On remarque que
Donc = .
Et il existe a,b et c dans R tels que :

=

Jusque là aucun souci. C'est pour trouver les coefficients a, b, et c que je ne suis pas d'accord.

Wiki dit :

En multipliant par , il vient :

=

Et en posant , on a :



Sauf que je ne suis pas d'accord, car la fonction rationnelle est définie pour tout réels sauf pour x=2.
Donc cette égalité = est vraie aussi pour tous les x sauf pour x=2.

Donc en multipliant par , l'égalité suivante est vraie pour tous les x sauf 2 :

= .

Donc on ne peut pas poser x=2 normalement, non ?

Merci d'avance.

[arnaud32]

tu vas essayer der chercher un equivalent en de ta donction sous ses deux formes, ca te donne quoi?
ou si tu preferes tu fais tendre x vers 2

[Skullkid]

Bonjour, la dernière égalité est bien vérifiée pour x = 2 puisque le fait d'avoir multiplié par (x-2) supprime le problème de définition en x = 2. Une autre façon de le voir est de dire que la fonction g définie par g(x) = (x-2)f(x) sur R\{2} est prolongeable par continuité en 2, et la valeur prolongée g(2) est justement égale à a.

[Trident]

tu vas essayer der chercher un equivalent en de ta donction sous ses deux formes, ca te donne quoi?
ou si tu preferes tu fais tendre x vers 2

Effectivement, je préfères faire tendre x vers 2 !
Merci !

[Trident]

Bonjour, la dernière égalité est bien vérifiée pour x = 2 puisque le fait d'avoir multiplié par (x-2) supprime le problème de définition en x = 2. Une autre façon de le voir est de dire que la fonction g définie par g(x) = (x-2)f(x) sur R\{2} est prolongeable par continuité en 2, et la valeur prolongée g(2) est justement égale à a.

Merci, ça me va aussi comme explication, c'est beaucoup plus clair.

[DamX]

En effet on n'a pas stricto-sensu le droit de prendre la valeur en x=2 mais au final tout marche comme si tu avais le droit :). Vois les choses un peu différemment, en terme d'equivalents, tu cherches de façon générique 'a' pour égaliser deux fonctions :
F(x)/(x-2) = a/(x-2) + G(b,c,x)
Où 2 n'est un pôle de F ni de G.
Comme tes fonctions doivent être égales, elles ont à fortiori les mêmes équivalents, en l'occurrence on s'intéresse à l'équivalent en 2 :

F(x)/(x-2) ~ F(2)/(x-2)
a/(x-2) + G(b,c,x) ~ a/(x-2)
Car 2 n'est pas un pôle ni de F ni de G je le répète.

Donc tu dois bien avoir a=F(2). Ce qui revient exactement à multiplier tout par (x-2) et prendre x=2 mais sans le dire :D

Damien

[DamX]

Ouh bah j'arrive après la bataille...