Courbes

[Trident]

Bonjour, il y a un petit truc que je ne comprends pas.

Dans mon cours, il est dit que l'application id : X=[0,1] -> Y=[0,1] (où X est muni de la métrique usuelle de R et Y muni de la distance d(x,y)=|x-y|^(1/2)) n'est limite uniforme d'aucune applications lipschitzienne car l'espace d'arrivée Y ne contient aucune courbe rectifiable (hormis une courbe constante).

Pouvez vous m'expliquer un peu plus ?

Il me semble que ça provient du faire que si X est un esapce métrique et si (I=[a,b], ) est une courbe où est une application continue (pas forcément C1), alors si \gamma est lipschitzienne, la courbe est rectifiable.

Mais apparemment, il faut montrer que quelque soit la courbe n'est pas rectifiable.

Mais si je prend une application lipschitzienne, elle est rectifiable ?

[Ben314]

Une application lipschitzienne de rapport de [a,b] (muni de la métrique usuelle) dans X (espace métrique quelconque) est évidement rectifiable vu que pour toute subdivision [TEX]a=x_0oo donc la courbe est de longueur infinie (i.e. non rectifiable)

(par contre, les fonctions non constantes mais ne prenant qu'un nombre fini de valeurs sur un nombre fini d'intervalles sont bien rectifiables, mais ne sont pas lipschitziennes vu qu'elles ne sont pas continues)

[Pythales]

Une application lipschitzienne de rapport de [a,b] (muni de la métrique usuelle) dans X (espace métrique quelconque) est évidement rectifiable vu que pour toute subdivision [TEX]a=x_0oo donc la courbe est de longueur infinie (i.e. non rectifiable)

(par contre, les fonctions non constantes mais ne prenant qu'un nombre fini de valeurs sur un nombre fini d'intervalles sont bien rectifiables, mais ne sont pas lipschitziennes vu qu'elles ne sont pas continues)

D'où vient la racine carrée ?

[Trident]

Une application lipschitzienne de rapport de [a,b] (muni de la métrique usuelle) dans X (espace métrique quelconque) est évidement rectifiable vu que pour toute subdivision [TEX]a=x_0oo donc la courbe est de longueur infinie (i.e. non rectifiable)

(par contre, les fonctions non constantes mais ne prenant qu'un nombre fini de valeurs sur un nombre fini d'intervalles sont bien rectifiables, mais ne sont pas lipschitziennes vu qu'elles ne sont pas continues)

@Pyhtales: elle vient de ma définition de distance dansvl'espace Y.

Merci ben mais du coup, comment conclure que mon application id: X -> Y n'est pas limite uniforme de fonctions lipschitziennes fn: X -> Y ?

[Trident]

J'ai peut être une idée: supposons qu'il existe une suite (fn): X -> Y d'applications lipschitziennes qui converge uniformément vers id: X -> Y. Prenons tout simplement l'arc a: X -> X qui vaut l'identité. C est un arc lipschitzien et du coup, par composition fn o a: X -> Y est lipschitzien donc rectifiable donc constant. Mais fn o a = fn car a=id_X. Donc les (fn) sont constants. Or, une suite d applications constantes qui converge uniformement converge forcément vers une application constante.

Est-ce correct?

[Ben314]

Sur le principe, c'est correct, mais je vois franchement pas à quoi te sert le fait de composer par l'identité de X...

On a vu (post précédent) que, dans le cas général, toute application lipschitzienne est rectifiable (et évidement continue)
Dans le cas particulier des applications de X dans Y de ton énoncé, on a vu que seule les applications constantes son à la fois continues et rectifiables.
Conclusion : les seules applications lipschitzienne X->Y sont les applications constante et, comme une suite d'applications constantes ne peut converger que vers une application constante, elle ne peut pas converger vers l'application X->Y;x->x vu que cette dernière n'est pas constante.

[Trident]

Sur le principe, c'est correct, mais je vois franchement pas à quoi te sert le fait de composer par l'identité de X...

On a vu (post précédent) que, dans le cas général, toute application lipschitzienne est rectifiable (et évidement continue)
Dans le cas particulier des applications de X dans Y de ton énoncé, on a vu que seule les applications constantes son à la fois continues et rectifiables.
Conclusion : les seules applications lipschitzienne X->Y sont les applications constante et, comme une suite d'applications constantes ne peut converger que vers une application constante, elle ne peut pas converger vers l'application X->Y;x->x vu que cette dernière n'est pas constante.

Oui en effet, j'avais oublié qu'une application de X -> Y est en fait "une courbe" puisque X est un intervalle de R.

Merci en tout cas !