Courbes orthogonales

[Subsib]

Bonjour,

j'ai un problème pour un exercice où on me demande de vérifier que les courbes d'équations respectives x²-y²=1 et y=1/x sont orthogonales.
Déjà, je crois avoir compris que cela signifie qu'elles se coupent à un endroit où leurs tangentes sont perpendiculaires. (scusez, pour rappel, je suis autodidacte, et là, j'ai réintégré l'univ', alors ça chauffe tout ce que je dois récupérer :s)
Bon, bon !! Mais comment je détermine l'endroit où elles se coupent ? Parce que je trouve une équation du type :
x^4-x^2-1=0, mais je ne sais pas résoudre ça ?!! (sans un logiciel, du moins)

Ou alors dois-je passer par les dérivées, en résolvant f'(x) = -1/g'(x) mais bien entendu, je tombe sur la même équation (enfin, là, j'ai trouvé -x^4+x^2-1, mais bon, j'ai dû me tromper qqpart avec les signes ?!)

Heu, je connais Horner, mais dans le cas présent, cela me semble exclus.
Comment suis-je censée faire pour résoudre cet exercice ???

Merci d'avance pour votre précieuse aide :) (que ferais-je sans ce forum ^^)

[barbu23]

Bonjour, :happy3:

L'équation se résout facilement, en posant ( On se ramène à une équation de second degré )

Cordialement. :happy3:

[Subsib]

Bonjour, :happy3:

L'équation se résout facilement, en posant ( On se ramène à une équation de second degré )

Cordialement. :happy3:

oh, merci !! J'y pense jamais... pfff !
:lol3:

[Dlzlogic]

Bonjour,
L'équation x^4-x^2-1=0 s'appelle une équation bi-carrée. On la résout en faisant un changement de variable, c'est à dire, on pose X = x².
Je vous laisse continuer.
PS, j'ai toujours dit que j'étais trop lent ...

[lionel52]

x^4 - x^2 - 1 c'est un polynome du second degré en x^2
factorise x² - x - 1 puis remplace x par x²!

[siger]

Bonjour,

l'equation x^4 - x² -1 = 0 se resoud facilement en posant X = x² d'ou X² -X -1 = 0 ou X² = X+1 qui est l'equation de definition du nombre d'or (1+V5)/2 puisqu'il faut garder la racine positive

Il me semble cependant (sauf erreur de raisonnement) que l a resolution de l'equation ne soit pas necessaire

le point d'intersection des deux courbes est defini par x1^4-x1² -1 = 0
les tangentes aux deux courbes sont perpendiculaires au point x1^4-x1² -1 = 0
donc si l'equation a une solution (quelqu'elle soiit) en ce point les deux conditions (intersection et tangentes perpendiculaires) sont verifiées

[Doraki]

En fait toutes les courbes xy = A intersectent toutes les courbes x²-y² = B orthogonalement.

Tu prends un point (x0,y0) au hasard, et tu regardes A = x0y0 et B = x0²-y0², puis tu regardes les deux courbes xy=A et x²-y² = B (qui s'intersectent en (x0,y0) au moins)

En dérivant l'équation de la première courbe en (x0,y0), tu obtiens x0dy+ y0dx = 0, donc sa tangente en ce point est dirigée par (dx,dy) qui est proportionnel à (-x0,y0)

En dérivant l'équation de la deuxième courbe en (x0,y0), tu obtiens x0dx- y0dy = 0, donc sa tangente en ce point est dirigée par (dx,dy) qui est proportionnel à (y0,x0)

Le produit scalaire des deux vecteurs directeurs vaut donc -x0*y0+x0*y0 = 0, donc les deux tangentes sont orthogonales.

---

Si on interprète tout ça dans C, xy = Re(z)Im(z) = (z+z')(z-z')/4i = (z²-z'²)/4i = Im(z²/2). (où z' est le conjugué de z)
Tandis que Re(z²/2) = (x²-y²)/2. Comme la fonction z -> z² est holomorphe, elle préserve les angles. Donc quand on dessine ces courbes xy = 2A et x²-y² = B ; on dessine les courbes Re(z²) = B et Im(z²) = A, qui sont le tiré en arrière du quadrillage canonique (Re(z),Im(z)) par z -> z².

Plus généralement, pour toute fonction g on peut d'amuser à calculer la fonction f holomorphe telle que g(x,y) = Re(f(x+iy)) (si elle existe). Pour obtenir les courbes qui sont toujours orthogonales aux courbes g(x,y) = A, ils suffit alors de prendre h(x,y) = Im(f(x+iy))

[Subsib]

En fait toutes les courbes xy = A intersectent toutes les courbes x²-y² = B orthogonalement.

Tu prends un point (x0,y0) au hasard, et tu regardes A = x0y0 et B = x0²-y0², puis tu regardes les deux courbes xy=A et x²-y² = B (qui s'intersectent en (x0,y0) au moins)

En dérivant l'équation de la première courbe en (x0,y0), tu obtiens x0dy+ y0dx = 0, donc sa tangente en ce point est dirigée par (dx,dy) qui est proportionnel à (-x0,y0)

En dérivant l'équation de la deuxième courbe en (x0,y0), tu obtiens x0dx- y0dy = 0, donc sa tangente en ce point est dirigée par (dx,dy) qui est proportionnel à (y0,x0)

Le produit scalaire des deux vecteurs directeurs vaut donc -x0*y0+x0*y0 = 0, donc les deux tangentes sont orthogonales.

houlà :s
Je crois que je vais m'en tenir à la résolution de l'équation (ou du moins vérifier qu'il y a un résultat, effectivement, j'ai trouvé le nb d'or) pour f(x)=-1/g'(x) parce que là, y a plein de gros mots que je connais pas du tout ^^ (jamais vu les "produits scalaires" par exemple, ouais, je sais, mais j'bosse déjà comme une tarée, j'peux pas faire plus :s)
Mais merci pour l'explication, je reviendrai dessus plus tard, ça me semble intéressant.

[chan79]

houlà :s
Je crois que je vais m'en tenir à la résolution de l'équation (ou du moins vérifier qu'il y a un résultat, effectivement, j'ai trouvé le nb d'or) pour f(x)=-1/g'(x) parce que là, y a plein de gros mots que je connais pas du tout ^^ (jamais vu les "produits scalaires" par exemple, ouais, je sais, mais j'bosse déjà comme une tarée, j'peux pas faire plus :s)
Mais merci pour l'explication, je reviendrai dessus plus tard, ça me semble intéressant.

Si tu prends la famille d'hyperboles telles que x²-y²=m, avec m variant dans (en rouge sur la figure), elle est associée à l'équation différentielle 2x-2yy'=0
On remplace y' par -1/y':
x+y/y'=0 soit y'/y=-1/x
on en déduit l'égalité qui donne donc des courbes orthogonales.(en bleu)


Uploaded with ImageShack.us

[Subsib]

Si tu prends la famille d'hyperboles telles que x²-y²=m, avec m variant dans (en rouge sur la figure), elle est associée à l'équation différentielle 2x-2yy'=0
On remplace y' par -1/y':
x+y/y'=0 soit y'/y=-1/x
on en déduit l'égalité qui donne donc des courbes orthogonales.(en bleu)


Uploaded with ImageShack.us

hooh, voilà qui m'intéresse beaucoup, d'autant que je viens de croiser les hyperboles justement (mais bon, j'ai pas encore bien saisi tout ça)

Donc, donc, j'essaie de comprendre.

Jusque là y'/y=-1/x
aucun problème.
Pourquoi y = k/x ?
si c'est pas abuser de votre gentillesse :s

[chan79]

hooh, voilà qui m'intéresse beaucoup, d'autant que je viens de croiser les hyperboles justement (mais bon, j'ai pas encore bien saisi tout ça)

Donc, donc, j'essaie de comprendre.

Jusque là y'/y=-1/x
aucun problème.
Pourquoi y = k/x ?
si c'est pas abuser de votre gentillesse :s

y'/y=-1/x
on intègre
ln(y)=-ln(x)+cste
ln(y)=ln(1/x)+cste
ln(y)=ln(1/x)+ln(k)
ln(y)=ln(k/x)
y=k/x

Toute courbe d'équation x²-y²=m est orthogonale à toute courbe d'équation y=k/x
(pour ton exemple, on a m=1 et k=1)

Tu peux facilement trouver des courbes orthogonales à partir d'une famille donnée.
Il faut quand même que l'intégration soit faisable.
Ci-dessous la famille rouge de départ donnée par y=m*sin(x)
On voit bien que les courbes se coupent à angle droit.



donc, si la famille de départ est donnée par ou ,
alors la famille orthogonale est donnée par ou

[Subsib]

han, génial, merci infiniment !!
(et là, une petite lumière s'allume, pourvu qu'elle ne s'éteigne pas !)