Corps résiduel de Z(p)

[AlexisD]

Bonjour, voici une proposition qui me turlupine un peu...

Soit p un nombre premier et le sous-ensemble de des rationnels formés des fractions r/s où s n'est pas divisible par p; c'est un anneau de valuation discrète de corps résiduel le corps à p éléments. Si est la valuation associée, n'est autre que l'exposant de p dans la décomposition de x en facteurs premiers.
(tiré de l'ouvrage de Serre: Corps locaux)

Voilà donc il faut montrer que l'application est un homomorphisme surjectif et la surjection me pose problème:
Si on se donne , il faut déterminer un tel que .
Bêtement, j'ai pensé à prendre mais il n'appartient pas à .
Alors comment faire ?

[AlexisD]

En fait, si n est positif, qui semblait être un choix judicieux n'appartient pas à d'où mon souci...
Personne n'a d'idée ?

[Doraki]

vp va de Q dans Z, pas de Fp* dans Z

[AlexisD]

Je confonds et K. C'est-à-dire le corps résiduel et le corps des fractions.
Maintenant, tout s'explique, merci Doraki.

[AlexisD]

mais alors comment montrer que et sont isomorphes ?

[AlexisD]

J'ai pensé à construire une application:

telle que et montrer qu'elle est bijective.

Déjà vérifier qu'elle est bien définie:
c'est-à-dire que

Mais peut-on en arriver à quelquechose avec ce raisonnement ?

[Doraki]

Mon dieu, non.
vp est à valeurs dans le groupe (Z,+), pas dans le corps Fp.

Par contre on peut montrer que Zp/pZp est par construction un corps à p éléments.

[AlexisD]

Mon dieu, non.
vp est à valeurs dans le groupe (Z,+), pas dans le corps Fp.

Oui, je sais c'est pour ca que j'ai considéré dans justement.

Mais le raisonnement par construction ca consiste à faire comment ?

[Doraki]

Ben à montrer que c'est un corps et qu'il a p éléments.

[AlexisD]

Ben à montrer que c'est un corps et qu'il a p éléments.

C'est un corps par maximalité de pZ(p).
Mais pourquoi le quotient serait-il fini ?

En fait, je n'arrive pas trop à visualiser l'ensemble, ce sont les r/s tels que p ne divise ni s, ni r ...

[Doraki]

Oui, c'est un corps parceque l'idéal est maximal.
Est-ce que les classes de k où k est entier sont toutes distinctes ?
Sinon, à quelle condition est-ce que deux entiers sont dans la même classe ?

Si b n'est pas multiple de p, on sait que , est-ce que par hasard tu connaîtras pas déjà un entier a tel que ?

[abcd22]

En fait, je n'arrive pas trop à visualiser l'ensemble, ce sont les r/s tels que p ne divise ni s, ni r ...

Tu confonds le quotient avec la différence d'ensembles .