Corps fini et somme de carrés

[Nightmare]

Salut à tous,

Soit k un corps fini, montrer que tout élément de k peut s'écrire comme somme de deux carrés d'éléments de k.

Bonne réflexion.

:happy3:

[Ben314]

Pour une fois, on peut pas dire que ce soit trop dur...

[Nightmare]

Effectivement :lol3:

[benekire2]

Salut, si c'est pas trop dur c'est suceptible de m'intéresser. Quels sont les outils avec lesquels c'est faisable ?

Merci :we:

[Ben314]

Savoir compter : 1,2,3,...


Edit : si en fait un résultat "technique" dont on a besoin est que tout corps fini est commutatif (ce qui permet d'avoir à peu prés les même propriétés que dans R concernant les polynômes...). Comme ce résultat est un peu complexe, tu as qu'à faire comme si l'énoncé disait "Montrer que dans tout corps commutatif fini..."

[benekire2]

Ok, je vais voir :we: mais je promet vraiment rien, ça me rappelle l'exo ou il faut montrer que tout polynôme est somme de deux carrés, et j'avais quand même séché ...

PS. Il me semble que c'est avec les polynômes cyclotomiques que l'on montre que tout corps commutatif est fini ?

[Joker62]

Du dénombrement fera l'affaire Benekire.
On a dit, savoir compter :)

[Ben314]

Oui, c'est l'un des outils dont on a besoin pour terminer la preuve.
Mais avant, il faut avoir quelques notions concernant les groupes opérant sur des ensembles (on fait agir le groupe multiplicatif K* sur lui même par conjugaison et on écrit l'équation des classes...)

[benekire2]

Je crois que c'est "facile" si on arrive a montrer que plus de la moitié des éléments d'un corps fini (commutatif bien sûr puisque c'est toujours le cas) sont des carrés ...

PS. Ouais je connais rien sur les groupes de plus poussé que les définitions et quelques notions sur les morphismes de groupes ... donc on va attendre encore un long moment !

[Ben314]

oui.......

[benekire2]

par contre bah j'arrive pas a montrer que il y a plus de carré dans k que la moitié de son cardinal ...

[dibeteriou]

Compter les carrés parfaits, c'est déterminer l'image de l'application (avec un ensemble de départ sympatique pour que cet application soit un morphisme).

On utilise pour ça le fait que où est l'ensemble de départ de en tant que morphisme de groupes.

[Ben314]

On peut le faire ainsi si on connait les morphismes de groupes, mais on peut aussi le faire "à la main" en constatant que, si y est un carré de K, donc si y=a² alors l'équation x²=y s'écrit x²-a²=0, c'est à dire (x-a)(x+a)=0 (car K est commutatif).
Cela prouve que y est le carré de deux éléments si a<>-a et d'un seul si a=-a (donc par exemple si y=0).
Cela prouve qu'il y a strictement plus de carrés que la moitié du nombre des éléments de K.

[benekire2]

Ok merci ben :zen: