Corps des invariants

[Nightmare]

Salut à tous !

Je lis une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss et un point (un seul pour le moment...) est assez obscur.

On considère l'extension R[i] de R ou i est une racine de X²+1 et une extension k de R[i], finie et galoisienne sur R. On pose H un 2-ss-groupe de Gal(k/R). Il est dit que son corps des invariants est de degré impair. Pourquoi ceci?

[Doraki]

H est un 2-sylow de Gal(k/R)
donc l'indice de H dans Gal(k/R) est impair
donc pareil pour l'indice de R dans le corps des invariants par H.

[Nightmare]

Ok ça me va. Ils concluent en disant que les polynômes irréductibles de R[X] de degré impair étant de degré 1, le corps des invariants est lui même de degré 1 et donc H=Gal(k/R)

Si j'ai bien compris, ceci est dû au théorème de l'élément primitif qui assure que le corps des invariants est une extension simple de R dont l'élément primitif est donc racine d'un polynôme irréductible sur R de degré impair, c'est bien ça?

[Doraki]

exactement.

[Nightmare]

:D je te remercie.

Connaissais-tu cette preuve purement algèbrique de du théorème fondamental ? Je n'en avais jamais entendu parlé auparavant.

Pour info, la preuve se termine en appliquant le même raisonnement au corps des invariants d'un sous-groupe d'indice 2 de Gal(K/R(i)). Si ce dernier n'est pas trivial, son corps des invariants est une extension quadratique de R(i) (chose que je comprends aussi maintenant) ce qui est contradictoire avec le fait qu'un complexe admette toujours une racine carrée.

Je la trouve particulièrement jolie :happy3:

[Doraki]

Ouais elle est due à Artin.

[Nightmare]

Je n'avais jamais entendu parlé de ce gars là avant cette année, mais depuis je le vois partout !

[yos]

Ils concluent en disant que les polynômes irréductibles de R[X] de degré impair étant de degré 1,

C'est le même argument que dans la preuve de Lagrange, et la preuve d'Emil est donc pas plus "purement algébrique" que celle de Joseph-Louis.