Invariants polynomiaux

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Soit un espace vectoriel de dimension finie muni de sa base canonique : .
Soit : le dual de , muni de sa base canonique : .
Soit : un tenseur mixte d'ordre : . ( i.e : une forme bilinaire telle que : avec : )
On a :
:

et

D'autre part :

On constate à la fin du calcul que :

Ainsi, les composantes de dans la base : sont identiques aux coefficients de la matrice : .
Par ailleurs, on sait que par passage d'une base à une autre ( changement de bases ) , certaines expressions polynomiales sont invariantes :
On rappelle que : est un invariant.
Voiçi le passage, que je ne comprends pas :
... Il en va de même de tous les coefficients du polynome caracteristique en obtenu en écrivant l'invariance du determinant de la matrice de l'application : .
Ces coefficients constituent une base de invariants polynomiaux independants de degré : à en : . Parmi ceux ci, on trouve , outre : , de degré , on trouve : de degré : :

Question :
Je voudrais savoir quels sont tous ces invariants polynomiaux desquels parle le texte çi dessus ? Comment s'expriment -ils explicitement ?
Merci d'avance ! :happy3:

[Nightmare]

Salut,

si j'ai bien compris, on te dit juste que le polynôme caractéristique est invariant par changement de base et ses coefs sont alors appelés invariants polynômiaux indépendants.

je crois que c'est pas facile de trouver une formule générale pour les coefs du polynôme caractéristique. On en connait quelques uns comme on te le dit dans l'énoncé, par exemple le coef du terme de degré n-1 est la trace, le terme constant est toujours le déterminant de la matrice (tu peux retrouver ces résultats facilement par contre). Je crois qu'il y en a un avec la trace de la comatrice mais je sais plus lequel.

Tu devrais retrouver ça avec un bon moteur de recherche.

[barbu23]

ok ! Merci ! :happy3:
Est ce que le determinant est un cas particulier de traces ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[alavacommejetepousse]

bonjour

qu'est-ce que la base canonique d'un k ev?