Coordonnées locales

[Archytas]

Salut,
Je comprends pas ce que c'est qu'un système de coordonnées locales en géométrie différentielles. Dans mon cours comme dans wikipédia c'est expliqué ponctuellement, c'est à dire qu'un point p d'une carte locale (U,f) a pour coordonnées locale f(p)=(p1,...,pn) ça je comprends mais quand on avance dans le cours on ne parle plus du tout de point mais on a toujours un truc du genre "soit (U,f) une carte locale, les coordonnées locales" ou directement "une carte locale coordonnées locales..." ma question est : c'est quoi ces par rapport à la carte locale (U,f) ?

[Ben314]

Salut,
Dans une "carte locale" (U,f), U c'est un ouvert de R^n et f une fonction de U dans ta variété.
Si p est un point de ta variété et (U,f) une carte locale "au voisinage de p", c'est à dire telle que p soit dans f(U), les "coordonnées locales" de p (dans cette carte), c'est tout simplement le n-uplet (x1,x2,...,xn) tel que f(x1,x2,...,xn)=p.

[Archytas]

Salut,
Dans une "carte locale" (U,f), U c'est un ouvert de R^n et f une fonction de U dans ta variété.
Si p est un point de ta variété et (U,f) une carte locale "au voisinage de p", c'est à dire telle que p soit dans f(U), les "coordonnées locales" de p (dans cette carte), c'est tout simplement le n-uplet (x1,x2,...,xn) tel que f(x1,x2,...,xn)=p.

D'acc mais si on prend un autre point p' disons du coup f(p) et f(p') ont pas de raison d'être égales donc pourquoi le (x,...xn) définirait toute notre carte locale ? C'est ça que je comprends pas :triste: .
Et nous on a vu ça comme U des ouverts de notre variété et f un difféomorphisme vers un ouvert de R^n mais ça doit pas changer grand chose j'imagine

[Robot]

Du coup, pour tout , associe à des coordonnées. Si est un point de différent de , c'est sûr que ! Il vaut mieux que ce soit comme ça, d'ailleurs. Si deux points différents avaient les mêmes coordonnées dans la carte locale, ça poserait problème, nion ?

[Ben314]

Attention aux notations de Robot de son post ci dessus qui ne sont pas les même que le mien 2 posts au dessus : "mon" f est "son" f^-1 et "mon" U est "son" f(U).
Ca ne change pas grand chose sur le principe vu que f est un difféomorphisme mais c'est plutôt les notations de Robots qui sont utilisés.

[mathelot]

exemple de cartes locales pour le cercle