Convergence en norme L1

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Je bloque pour trouver une preuve à l'exercice suivant :

On travaille avec la mesure de Lebesgue.

Soit une suite de fonctions intégrables sur un ouvert qui converge faiblement vers une fonction f intégrable.

On suppose qu'il y a de plus convergence forte presque partout vers cette fonction f.

But : Montrer que

Il y a une question préliminaire :

Montrer que si la limite de la suite d'intégrale est nulle pour tout ensemble mesurable X alors il existe un domaine mesurable E assez petit qui rend l'intégrale des sur E aussi petite que l'on veut (on parle à priori d'équi-intégrabilité selon mes recherches, je ne connaissais pas cette notion).

Auriez-vous une idée déjà pour répondre à cette question préliminaire?

Merci à vous :happy3:

[Nightmare]

Bon j'ai réussi à résoudre la question préliminaire en appliquant Baire à un union dénombrable d'ensembles bien choisis.

Je continue de chercher pour la suite, n'hésitez pas à poster si vous avez des pistes.

[Nightmare]

Petit up !

Pour faire un lien avec la question préliminaire, il est clair que (fn-f)n vérifie le critère d'équi-intégrabilité, on doit pouvoir faire une majoration de l'intégrale mais je n'y arrive pas, il me faudrait une convergence uniforme.