Constante d'Euler, TAF

[ashtoonet]

Bonjour à tous, je suis en sup PCSI, et j'ai besoin d'une petite aide pour la troisième question de mon devoir libre :)

Alors, j'ai déjà réussi à prouver que gamma (donc la constante d'Euler) était comprise entre 0 et 1, et dans cette partie, on m'invite à prouver qu'elle est comprise entre 1/2 et 1.
Voilà l'énoncé :

3. (a) Etudier sur [k, k+1] (k un naturel différent de 0), le signe de f(indice k) définie par
f(indice k)(x) = 1/k +(1/(k+1)-1/k)(x-k) -1/x

je l'ai donc dérivée, et j'obtient f'(indice k)(x)= (-x²+k(k+1))/(k(k+1)x²)
Et je ne sais pas quoi en dire..
(b) En considérant une fonction F(indice k) telle que F'(indice k)=f(indice k), en déduire :
1/(k+1) <= ln((k+1)/k) <= 1/2( 1/k + 1/(k+1))

Donc je sais qu'il faut primitiver f(indice k), mais qu'en faire ?

Et enfin, je dois prouver que 1/2 <= gamma <= 1

Mais j'ai du mal à voir le lien entre les questions, merci d'avance pour l'aide que vous pourriez m'apporter.

[Manny06]

[quote="ashtoonet"]Bonjour à tous, je suis en sup PCSI, et j'ai besoin d'une petite aide pour la troisième question de mon devoir libre

Alors, j'ai déjà réussi à prouver que gamma (donc la constante d'Euler) était comprise entre 0 et 1, et dans cette partie, on m'invite à prouver qu'elle est comprise entre 1/2 et 1.
Voilà l'énoncé :

3. (a) Etudier sur [k, k+1] (k un naturel différent de 0), le signe de f(indice k) définie par
f(indice k)(x) = 1/k +(1/(k+1)-1/k)(x-k) -1/x

je l'ai donc dérivée, et j'obtient f'(indice k)(x)= (-x²+k(k+1))/(k(k+1)x²)
Et je ne sais pas quoi en dire..
(b) En considérant une fonction F(indice k) telle que F'(indice k)=f(indice k), en déduire :
1/(k+1) 1/x est concave

pour simplifier j'ecris fk(x) =ax+b-1/x
f'k(x)=a+1/x²
f"k(x) =-2/x³ 0 et f'k(k+1) <0 donc f' s'annule pour une valeur a de ]k;k+1[
je te laisse le soin de montrer que fk est positive après avoir calculé fk(k) et fk(k+1)

[Manny06]

[quote="Manny06"]Remarque si on note Ak le point (k,1/k) ta fonction est la difference entre l'équation de la secante AkAk+1 et celle de la courbe elle devrait donc être positive puisque la fonction x-->1/x est concave

pour simplifier j'ecris fk(x) =ax+b-1/x
f'k(x)=a+1/x²
f"k(x) =-2/x³ 0 et f'k(k+1) 1/x l'axe Ox et les droites d'equations x=k et x=k+1 entre l'aire d'un rectangle et l'aire d'un trapèze

[nodjim]

Petite question: quel est cette petite médaille qu'on voit en médaillon ? Elle m'intrigue...

[ashtoonet]

C'est vrai que j'avais pas pensé à la dérivée seconde..
Alors effectivement f'k s'annule d'après le TVI sur [k,k+1] mais fk(k)=fk(k+1)=0
comment savoir ce que fait la fonction entre à partir de la décroissance et l'annulation de la dérivée ?

[ashtoonet]

Petite question: quel est cette petite médaille qu'on voit en médaillon ? Elle m'intrigue...

C'est l'insigne de l'armement dans l'armée

[ashtoonet]

Remarque si on note Ak le point (k,1/k) ta fonction est la difference entre l'équation de la secante AkAk+1 et celle de la courbe elle devrait donc être positive puisque la fonction x-->1/x est concave

pour simplifier j'ecris fk(x) =ax+b-1/x
f'k(x)=a+1/x²
f"k(x) =-2/x³ 0 et f'k(k+1) <0 donc f' s'annule pour une valeur a de ]k;k+1[
je te laisse le soin de montrer que fk est positive après avoir calculé fk(k) et fk(k+1)

C'est bon je viens de percuter, comme f'k est positive sur [k,a], fk est donc croissante, puis décroissante sur [a,k+1].
Donc elle est positive.

Me reste plus qu'à comprendre l'histoire des intégrales !

[ashtoonet]

donc l'arc de courbe est au-dessous de la sécante AkAk+1
il suffit d'encadrer l'aire A delimitée par la courbe de x-->1/x l'axe Ox et les droites d'equations x=k et x=k+1 entre l'aire d'un rectangle et l'aire d'un trapèze

Alors là, je vois pas ce qu'il faut faire, à part l'intégrale entre k et k+1 de x->1/x, mais sinon je comprend pas l'histoire des droites :triste:

[Manny06]

Alors là, je vois pas ce qu'il faut faire, à part l'intégrale entre k et k+1 de x->1/x, mais sinon je comprend pas l'histoire des droites :triste:

il serait plus facile de faire un dessin
tu traces l'axe des abscisses et les droites d'équation x=k et x=k+1
tu traces l'arc de l'hyperbole d'équation x-->1/x pour x€[k;k+1]
L' aire delimitée par l'arc de courbe et ces 3 droites est donc ln(k+1) -lnk
cette aire est supérieure à l'aire du rectangle situé sous la courbe 1*1/(k+1)
et inférieure à l'aire du trapèze construit sur les 3droites précédentes et la corde AkAk+1 (puisqu'on amontré que la courbe est sous la corde) cette aire vaut (1/2)*(1/k+1/(k+1))
(demi-somme des bases*hauteur)

[ashtoonet]

il serait plus facile de faire un dessin
tu traces l'axe des abscisses et les droites d'équation x=k et x=k+1
tu traces l'arc de l'hyperbole d'équation x-->1/x pour x€[k;k+1]
L' aire delimitée par l'arc de courbe et ces 3 droites est donc ln(k+1) -lnk
cette aire est supérieure à l'aire du rectangle situé sous la courbe 1*1/(k+1)
et inférieure à l'aire du trapèze construit sur les 3droites précédentes et la corde AkAk+1 (puisqu'on amontré que la courbe est sous la corde) cette aire vaut (1/2)*(1/k+1/(k+1))
(demi-somme des bases*hauteur)

C'est vrai que graphiquement on comprend, mais le "en déduire" à partir de la primitive me laisse perplexe, peut-être une invitation à raisonner graphiquement..?