Connexe

[jsvdb]

Au hasard QxR union R x {0} pour un connexe par arc mais non localement connexe par arc et même non localement connexe ... je crois ! avec la topologie induite par celle de R².

Par contre, pour un espace connexe par arc, localement connexe mais non localement connexe par arc : je commencerai bien par le graphe de la fonction sin(1/x) réuni avec le segment [-1,1] x {0} qui est connexe par arc, localement connexe mais je vois pas ce qu'il faut ajouter (ou retrancher) pour qu'il ne soit pas localement connexe par arc.

[Ben314]

Pour le 1er contre exemple, c'est tout bon.

Pour le deuxième, si tu prend la réunion du graphe de x->sin(1/x) (par exemple pour x dans ]0,1]) avec {0}x[-1,1], c'est effectivement connexe (comme adhérence du graphe qui est connexe par arc donc connexe) mais ce n'est pas connexe par arc.
Pour le rendre connexe par arc, on rajoute un arc qui relie un point du graphe, par exemple (1,sin(1)) à un point du segment, par exemple (0,0) en faisant un "gros détour" histoire de ne rien changer à ce qui se passe au voisinage de 0.
C'est ce qu'on appelle en général le cercle polonais qui est "LE" exemple d'espace topologique (connexe par arc) dont tout les groupes d'homotopie sont triviaux bien qu'il ne soit pas contractile.

Mais par contre, il n'est pas localement connexe (donc pas localement connexe par arc non plus) donc n'est pas un exemple d'espace localement connexe mais non localement connexe par arc.

[jsvdb]

D'ac ok !
Alors maintenant plus fort ! Aurais-tu tout-à-fait par hasard dans ta besace un exemple d'espace :
- Connexe par arcs (donc connexe)
- Localement connexe
- Pas localement connexe par arc

[Ben314]

Localement connexe et pas localement connexe par arc (+ séparé bien sûr), j'y ai un peu réfléchi en postant le post précédent et... j'ai pas trouvé...
Je suis à peu prés persuadé que ça existe, mais j'ai quand même la forte impression qu'il faut un peu gamberger pour trouver un exemple.