Je me permet d'ouvrir ce topic qui concerne, comme son nom l'indique, l'épreuve de mathématiques du concours polytechnique de l'année 2006 section PC. C'est en fait Sylviel qui me l'as passé puisque il avait suggéré dans un autre post que les questions étaient toutes (enfin presque) solvables par des outils de Terminale. J'ai donc essayé de faire ce problème, que j'ai trouvé très intéressant et aussi très difficile (enfin ça c'est normal je crois). Bon, bien sûr j'ai pas ouvert la discussion dans la rubrique Lycée.
Je donne ici les réponses aux questions, que vous trouverez ici: http://www.sujets-de-concours.net/sujets/x/2006/pc/maths.pdf
1. On vérifie facilement que
2. a. Ici, si on suppose que la longueur de a est plus grande que celle de b, alors la fonction polynomiale proposée est équivalente qu voisinage de l'infii à
2. b. Je n'ai rien fait ...
2. c. Ici c'est pas très difficile , les carrés de Z/4Z sont 0 et 1 ainsi une somme de deux carrés ne peut être congru à 3 modulo 4. Il es donc clair que l'infinitude des entiers de la forme 4k+3 assure que le complémentaire de L dans N est bien un ensemble infini.
3. a. Là rien de dur aussi, on réutilise la question 2.a.
3. b. On calcule les polynômes U et V et on utilise la question précédente.
4. La question m'a fait peur mais finalement : Soit v une séquence de longueur 2m>0 et m' le nombre de coordonnées de v égales à -1. Ainsi la somme du (i) vaut 2(m-m') et il est clair que les assertions (i) et (ii) sont équivalentes. Enfin le produit du (iii) vaut
5. a. On utilise l'indication, et comme la j-ième corrélation est nulle on utilise la question 4.
5. b. Pas sû faire ...
5. c. Non plus ...
6. a. Rien de difficile.
6. b. On procède par récurrence. J'ai un peu la flemme de détailler .. mais je sais que ça tient la route.
7. Bon alors là aussi j'ai pas été très inspiré alors j'ai tenté une récurrence et ça a marché assez facilement d'ailleurs, bon là encore je détaille pas c'est assez bateau, on montre bien sûr que la somme
8. Pareil , encore une récurrence !!
9. a. Je n'ai pas fait.
9. b. La première inégalité
10.a. Je ne connais pas les séries, non abordé.
10.b. Non abordé non plus.
Voilà, si vous pouvez me dire si c'est bon, que j'ai pas trop écrit de bêtises ... et me donner quelques indications pour les questions que j'ai pas su faire comme la 2.a ou la 9.a. et la fin de la 9.b. , merci beaucoup de prendre du temps :lol3: !